4. Вычислите косинус наименьшего угла треугольника \(ABC\), если координаты его вершин: \(A(-2;5)\), \(B(4;1)\), \(C(2;-5)\).

Сравним квадраты длин сторон:

\(AB^2=(4-(-2))^2+(1-5)^2=52\); \(BC^2=(2-4)^2+(-5-1)^2=40\); \(AC^2=(2-(-2))^2+(-5-5)^2=116\).

Наименьшая сторона — \(BC\), значит наименьший угол находится напротив неё, при вершине \(A\).

\(\overrightarrow{AB}=(6;-4)\), \(\overrightarrow{AC}=(4;-10)\). Тогда \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6\cdot4+(-4)\cdot(-10)=64\).

Следовательно, \(\cos A=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|AB|\,|AC|}=\dfrac{64}{\sqrt{52}\sqrt{116}}=\dfrac{16}{\sqrt{377}}\).

Ответ: \(\dfrac{16}{\sqrt{377}}\).