4) Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций: y = 1, y = 4x, x = 1, y = 0.

Решение:

Заданная фигура ограничена прямыми \( y = 1 \), \( y = 4x \), \( x = 1 \) и \( y = 0 \). Найдем точки пересечения этих прямых.

1. Пересечение \( y = 4x \) и \( y = 1 \): \( 4x = 1 \rightarrow x = \frac{1}{4} \). Точка: \( (\frac{1}{4}, 1) \).
2. Пересечение \( y = 4x \) и \( x = 1 \): \( y = 4 \cdot 1 = 4 \). Точка: \( (1, 4) \).
3. Пересечение \( y = 1 \) и \( x = 1 \): Точка: \( (1, 1) \).
4. Пересечение \( y = 4x \) и \( y = 0 \): \( 4x = 0 \rightarrow x = 0 \). Точка: \( (0, 0) \).
5. Пересечение \( x = 1 \) и \( y = 0 \): Точка: \( (1, 0) \).
6. Пересечение \( y = 1 \) и \( y = 0 \): Эти прямые параллельны, пересечения нет.

Заметим, что фигура ограничена четырьмя линиями, но одна из них (\( y = 4x \)) выходит за пределы области, ограниченной \( y=1 \) и \( x=1 \). Область интегрирования будет определена линиями \( y=1 \), \( x=1 \), \( y=0 \) и \( x=0 \) (поскольку \( y=4x \) проходит через начало координат). Однако, линия \( y=4x \) ограничивает сверху область, а \( y=1 \) - тоже сверху, но в другой части. Рассмотрим область, ограниченную \( y=4x \), \( y=1 \), \( x=1 \), \( y=0 \).

Для вычисления площади воспользуемся интегрированием. Графики функций описывают область, состоящую из двух частей:

• От \( x = 0 \) до \( x = \frac{1}{4} \) (точка пересечения \( y=4x \) и \( y=1 \)), нижняя граница \( y=0 \), верхняя граница \( y=4x \).
• От \( x = \frac{1}{4} \) до \( x = 1 \), нижняя граница \( y=0 \), верхняя граница \( y=1 \).

Площадь \( S \) будет суммой площадей двух областей:

\[ S = \int_{0}^{1/4} 4x dx + \int_{1/4}^{1} 1 dx \]\[ S = \left[ 2x^2 \right]_{0}^{1/4} + \left[ x \right]_{1/4}^{1} \]\[ S = (2(\frac{1}{4})^2 - 2(0)^2) + (1 - \frac{1}{4}) \]\[ S = (2 \cdot \frac{1}{16} - 0) + \frac{3}{4} \]\[ S = \frac{1}{8} + \frac{3}{4} \]\[ S = \frac{1}{8} + \frac{6}{8} = \frac{7}{8} \]Alternatively, consider the region bounded by \(y=1\), \(x=1\), \(y=0\) and \(y=4x\). This forms a trapezoid. The vertices are (0,0), (1,0), (1,1), and (1/4, 1). However, the line \(y=4x\) goes from (0,0) to (1/4, 1). The line \(y=1\) goes from (1/4, 1) to (1,1). The line \(x=1\) goes from (1,0) to (1,1). The line \(y=0\) goes from (0,0) to (1,0). The shape is a pentagon with vertices (0,0), (1,0), (1,1), (1/4, 1), and (0,0) is not a vertex of the bounded region. The bounded region vertices are (0,0), (1,0), (1,1), (1/4, 1). The line \(y=4x\) defines the upper boundary from \(x=0\) to \(x=1/4\). The line \(y=1\) defines the upper boundary from \(x=1/4\) to \(x=1\). The lower boundary is \(y=0\) from \(x=0\) to \(x=1\). The right boundary is \(x=1\) from \(y=0\) to \(y=1\). The figure's vertices are (0,0), (1,0), (1,1), (1/4,1). It is a shape bounded by \(y=0\) (bottom), \(x=1\) (right), \(y=1\) (top-right), and \(y=4x\) (top-left). The integral setup is correct.

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{7}{8} \).