4. Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фигуры, ограниченной линиями: a) y=2x^2, y=0, x=1, x=3. б) y=2sin x, y=0, x=0, x=π/2.

Задание 4: Вычисление площади фигур

Необходимо найти площадь фигур, ограниченных заданными линиями. Для этого будем использовать определенный интеграл.

а) Площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x², y=0, x=1, x=3.

1. Шаг 1: Определяем функцию и пределы интегрирования. Функция: \( y = 2x^2 \). Нижний предел интегрирования: \( a=1 \). Верхний предел интегрирования: \( b=3 \).
2. Шаг 2: Вычисляем определенный интеграл. \( S = \int_{1}^{3} 2x^2 dx \)
3. Шаг 3: Находим первообразную для \( 2x^2 \). Первообразная равна \( \frac{2x^3}{3} \).
4. Шаг 4: Вычисляем значение определенного интеграла, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( S = [\frac{2x^3}{3}]_{1}^{3} = \frac{2(3)^3}{3} - \frac{2(1)^3}{3} \)
5. Шаг 5: Производим расчеты. \( S = \frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3} = \frac{54}{3} - \frac{2}{3} = \frac{52}{3} \).

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{52}{3} \) квадратных единиц.

б) Площадь фигуры, ограниченной линиями y=2sin x, y=0, x=0, x=π/2.

1. Шаг 1: Определяем функцию и пределы интегрирования. Функция: \( y = 2\sin x \). Нижний предел интегрирования: \( a=0 \). Верхний предел интегрирования: \( b=\frac{\pi}{2} \).
2. Шаг 2: Вычисляем определенный интеграл. \( S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\sin x dx \)
3. Шаг 3: Находим первообразную для \( 2\sin x \). Первообразная равна \( -2\cos x \).
4. Шаг 4: Вычисляем значение определенного интеграла: \( S = [-2\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (-2\cos(\frac{\pi}{2})) - (-2\cos(0)) \)
5. Шаг 5: Производим расчеты. \( \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \) и \( \cos(0) = 1 \). Следовательно, \( S = (-2 \cdot 0) - (-2 \cdot 1) = 0 - (-2) = 2 \).

Ответ: Площадь фигуры равна 2 квадратных единицы.