4. Вычислите производную функции y = √x - 2 + 2x^3, x = 4.

Решение:

Сначала найдём производную функции \( y = \sqrt{x} - 2 + 2x^3 \).

Производная от \( \sqrt{x} \) равна \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

Производная от константы \( -2 \) равна \( 0 \).

Производная от \( 2x^3 \) равна \( 2 \cdot 3x^2 = 6x^2 \).

Таким образом, производная функции \( y' \) равна:

\[ y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 0 + 6x^2 = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 6x^2 \]

Теперь подставим \( x = 4 \) в выражение для производной:

\[ y'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} + 6(4)^2 \]

\[ y'(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} + 6 \cdot 16 \]

\[ y'(4) = \frac{1}{4} + 96 \]

\[ y'(4) = 0.25 + 96 \]

\[ y'(4) = 96.25 \]

Ответ: 96.25.