4. Вымярэнні АВ, ВС і СС₁ прамавугольнага паралелепіпеда АBCDABCD роўныя а, b i с адпаведна. Знайдзіце вугал паміж прамымі АВ₁ і CD₁.

Решение:

Дан прямоугoльный параллелепипед ABCD A₁B₁C₁D₁.

Даны размеры рёбер: AB = a, BC = b, CC₁ = c.

Нужно найти угол между прямыми AB₁ и CD₁.

1. Построение вектора: Вектор AB₁ имеет координаты (a, b, c) если принять начало координат в точке A(0,0,0).
2. Поиск вектора CD₁: Вектор CD₁ параллелен вектору BA₁. Координаты вектора BA₁ равны (-a, b, c).
3. Вычисление угла: Используем формулу для нахождения угла между двумя векторами: cos(θ) = (AB₁ ⋅ CD₁) / (|AB₁| |CD₁|).
• AB₁ ⋅ CD₁ = (a * -a) + (b * b) + (c * c) = -a² + b² + c²
• |AB₁| = sqrt(a² + b² + c²)
• |CD₁| = |BA₁| = sqrt((-a)² + b² + c²) = sqrt(a² + b² + c²)
• cos(θ) = (-a² + b² + c²) / (a² + b² + c²)
4. Угол: θ = arccos((-a² + b² + c²) / (a² + b² + c²)).

Финальный ответ:

Угол между прямыми AB₁ и CD₁ равен arccos((-a² + b² + c²) / (a² + b² + c²)).