4. Выполните действия: a) $$\frac{a^2+1}{a^3+1} - \frac{1}{a+1}$$ б) $$\frac{2b}{(b-2)^2} - \frac{2b-3}{b^2-4}$$

Решение:

а)

\(\frac{a^2+1}{a^3+1} - \frac{1}{a+1} = \frac{a^2+1}{(a+1)(a^2-a+1)} - \frac{1 \cdot (a^2-a+1)}{(a+1)(a^2-a+1)} = \frac{a^2+1 - (a^2-a+1)}{(a+1)(a^2-a+1)} = \frac{a^2+1-a^2+a-1}{(a+1)(a^2-a+1)} = \frac{a}{(a+1)(a^2-a+1)} = \frac{a}{a^3+1}\)

б)

\(\frac{2b}{(b-2)^2} - \frac{2b-3}{b^2-4} = \frac{2b}{(b-2)^2} - \frac{2b-3}{(b-2)(b+2)} = \frac{2b(b+2) - (2b-3)(b-2)}{(b-2)^2(b+2)} = \frac{2b^2+4b - (2b^2 - 4b - 3b + 6)}{(b-2)^2(b+2)} = \frac{2b^2+4b - (2b^2 - 7b + 6)}{(b-2)^2(b+2)} = \frac{2b^2+4b - 2b^2 + 7b - 6}{(b-2)^2(b+2)} = \frac{11b-6}{(b-2)^2(b+2)}\)

Ответ: а) $$\frac{a}{a^3+1}$$ ; б) $$\frac{11b-6}{(b-2)^2(b+2)}$$