4. Выполните действия: а) \(\frac{a+4}{4a}\cdot\frac{8a^2}{a^2-16}\); б) \(\left(\frac{3x^2y^{-3}}{z}\right)^2:\frac{(3x)^3z^{-2}}{y^5}\).

а)

Разложим разность квадратов и сократим общие множители:

\[\frac{a+4}{4a}\cdot\frac{8a^2}{a^2-16}=\frac{a+4}{4a}\cdot\frac{8a^2}{(a-4)(a+4)}=\frac{2a}{a-4}.\]

Ограничения исходного выражения: \(a\ne0\), \(a\ne4\), \(a\ne-4\).

б)

Возведём первую дробь в квадрат, а деление заменим умножением на обратную дробь:

\[\left(\frac{3x^2y^{-3}}{z}\right)^2:\frac{(3x)^3z^{-2}}{y^5}=\frac{9x^4y^{-6}}{z^2}\cdot\frac{y^5}{27x^3z^{-2}}=\frac{x}{3y}.\]

Здесь использованы правила степеней: \(x^4/x^3=x\), \(y^{-6}y^5=y^{-1}\), а множители с \(z\) сокращаются. В исходном выражении необходимо \(x\ne0\), \(y\ne0\), \(z\ne0\).

Ответ: а) \(\frac{2a}{a-4}\), где \(a\ne0,\pm4\); б) \(\frac{x}{3y}\), где \(x,y,z\ne0\).