4. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, образует с одним из катетов угол 55°. Найдите острые углы этого треугольника.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \). Проведена высота CD к гипотенузе AB. По условию, \( \angle CDB = 90^{\circ} \) и \( \angle CAD = 55^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. В нем \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle A = 55^{\circ} \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \), поэтому \( \angle ACD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ} \).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CDB. В нем \( \angle CDB = 90^{\circ} \). Угол \( \angle B \) и угол \( \angle ACD \) являются острыми углами прямоугольного треугольника ABC, и \( \angle ACD = 35^{\circ} \). Следовательно, \( \angle B = 35^{\circ} \).

Найдем \( \angle A \) в прямоугольном треугольнике ABC: \( \angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ} \).

Таким образом, острые углы треугольника ABC равны \( 55^{\circ} \) и \( 35^{\circ} \).

Ответ: 55° и 35°.