4. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки, один из которых равен 27 см. Найдите периметр треугольника, если высота равна 36 см.

Пошаговое решение:

• Обозначим прямоугольный треугольник как ABC, где угол C = 90 градусов. Высота CD проведена к гипотенузе AB.
• Дано: CD = 36 см, AD = 27 см.
• Используем теорему о среднем геометрическом: квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу. То есть, CD² = AD * DB.
• Вычисляем DB: 36² = 27 * DB => 1296 = 27 * DB => DB = 1296 / 27 = 48 см.
• Находим гипотенузу AB: AB = AD + DB = 27 + 48 = 75 см.
• Теперь найдем катеты AC и BC, используя теорему Пифагора для треугольников ADC и BDC (или теорему о проекциях катетов).
• Найдем AC: AC² = AD² + CD² = 27² + 36² = 729 + 1296 = 2025. AC = \(\sqrt{2025}\) = 45 см.
• Найдем BC: BC² = DB² + CD² = 48² + 36² = 2304 + 1296 = 3600. BC = \(\sqrt{3600}\) = 60 см.
• Проверка с помощью теоремы Пифагора для треугольника ABC: AC² + BC² = 45² + 60² = 2025 + 3600 = 5625. AB² = 75² = 5625. Равенство выполняется.
• Находим периметр треугольника P = AC + BC + AB.
• P = 45 + 60 + 75 = 180 см.

Ответ: 180 см