4. Высоты остроугольного треугольника NPT, проведенные из вершин № и Р, пересекаются в точке К, угол Т равен 56°. Найти угол NKP.

Дано:

• \[ \triangle NPT \text{ (остроугольный)} \]
• \[ NK \perp PT, \quad PK \perp NT \]
• \[ \angle T = 56^{\circ} \]

Найти:

• \[ \angle NKP \text{ - ?} \]

Решение:

1. Рассмотрим четырехугольник N K P T.
2. По условию, NK — высота, значит, NK перпендикулярна PT. Следовательно, \[ \angle NKT = 90^{\circ} \].
3. Аналогично, PK — высота, значит, PK перпендикулярна NT. Следовательно, \[ \angle PKT = 90^{\circ} \].
4. Сумма углов четырехугольника равна 360°.
5. В четырехугольнике N K P T: \[ \angle NKP + \angle KPT + \angle PTN + \angle TNK = 360^{\circ} \]
6. Мы знаем, что \[ \angle KPT = 90^{\circ} \] (так как PK — высота), \[ \angle PTN = 56^{\circ} \] (дано), \[ \angle TNK = 90^{\circ} \] (так как NK — высота).
7. Подставляем известные значения: \[ \angle NKP + 90^{\circ} + 56^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \]
8. \[ \angle NKP + 236^{\circ} = 360^{\circ} \]
9. \[ \angle NKP = 360^{\circ} - 236^{\circ} \]
10. \[ \angle NKP = 124^{\circ} \]

Ответ:

124°