4. Задания на повторение. 1) Вычислить: а) $\sqrt{\sqrt[6]{2^6\cdot 6^{12}}}$; б) $\frac{\sqrt[4]{4^6\cdot\sqrt{245}}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt[4]{3}}$; в) $\frac{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{4}}{\sqrt[4]{81}}$; г) $\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}$. 2) Упростить выражение: $\sqrt{a}\cdot\sqrt{a^2}:\sqrt[4]{a^3}$. 3) Сравните числа: а) $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[4]{3}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Задания на повторение. 1) Вычислить: а) $\sqrt{\sqrt[6]{2^6\cdot 6^{12}}}$; б)…$ Фото задания

4. Задания на повторение. 1) Вычислить: а) $\sqrt{\sqrt[6]{2^6\cdot 6^{12}}}$; б) $\frac{\sqrt[4]{4^6\cdot\sqrt{245}}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt[4]{3}}$; в) $\frac{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{4}}{\sqrt[4]{81}}$; г) $\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}$. 2) Упростить выражение: $\sqrt{a}\cdot\sqrt{a^2}:\sqrt[4]{a^3}$. 3) Сравните числа: а) $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[4]{3}$.

Accepted Answer

1) Вычислить

а) Сначала вычислим корень шестой степени:

$\sqrt[6]{2^6\cdot 6^{12}}=2\cdot 6^2=72$.

Тогда $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$.

б) Представим радикалы степенями и сократим:

$\sqrt[4]{4^6\cdot\sqrt{245}}=\sqrt[4]{2^{12}\cdot 7\sqrt{5}}=8\cdot 7^{1/4}\cdot 5^{1/8}$, поскольку $\sqrt{245}=7\sqrt{5}$.

Знаменатель равен $\sqrt{5}\cdot\sqrt[4]{3}=5^{1/2}\cdot3^{1/4}$. Поэтому значение дроби:

$\frac{8\cdot 7^{1/4}\cdot 5^{1/8}}{5^{1/2}\cdot3^{1/4}}=\frac{8\sqrt[4]{7}}{\sqrt[8]{5^3}\sqrt[4]{3}}$.

в) Объединим кубические корни и вычислим корень четвёртой степени:

$\frac{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{4}}{\sqrt[4]{81}}=\frac{\sqrt[3]{8}}{3}=\frac{2}{3}$.

г) Переведём смешанное число в неправильную дробь:

$3\frac{3}{8}=\frac{27}{8}$, поэтому $\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{3}{2}$.

2) Упростить выражение

Для действительных значений выражения требуется $a>0$. Запишем корни степенями:

$\sqrt{a}\cdot\sqrt{a^2}:\sqrt[4]{a^3}=a^{1/2}\cdot a\div a^{3/4}=a^{3/4}=\sqrt[4]{a^3}$.

3) Сравнить числа

а) Возведём оба положительных числа в 12-ю степень: $(\sqrt[3]{4})^{12}=4^4=256$, а $(\sqrt[4]{3})^{12}=3^3=27$. Так как $256>27$, то $\sqrt[3]{4}>\sqrt[4]{3}$.

Ответ: 1) а) $6\sqrt{2}$; б) $\frac{8\sqrt[4]{7}}{\sqrt[8]{5^3}\sqrt[4]{3}}$; в) $\frac{2}{3}$; г) $\frac{3}{2}$. 2) $\sqrt[4]{a^3}$ при $a>0$. 3) а) $\sqrt[3]{4}>\sqrt[4]{3}$.