4. Задумали двузначное число, которое делится на 21. К этому числу справа приписали его последнюю цифру, и получилось трёхзначное число, которое делится на 9 с остатком 3. Какое число задумали? Запишите решение и ответ.

Решение:

Обозначим задуманное двузначное число как $$x$$.

По условию, $$x$$ делится на 21. Значит, $$x$$ может быть одним из следующих чисел: 21, 42, 63, 84.

Пусть последняя цифра числа $$x$$ равна $$d$$. Тогда $$x = 10a + d$$, где $$a$$ — первая цифра.

К этому числу справа приписали его последнюю цифру $$d$$. Получилось трёхзначное число. Его можно представить как $$10x + d$$.

Например, если $$x=21$$, то $$d=1$$. Трехзначное число будет 211.

Если $$x=42$$, то $$d=2$$. Трехзначное число будет 422.

Если $$x=63$$, то $$d=3$$. Трехзначное число будет 633.

Если $$x=84$$, то $$d=4$$. Трехзначное число будет 844.

По условию, это трёхзначное число делится на 9 с остатком 3. Это означает, что трёхзначное число можно записать как $$9k + 3$$, где $$k$$ — целое число.

Проверим каждое из возможных трёхзначных чисел:

1. Если $$x=21$$, то $$d=1$$. Трёхзначное число = 211.
• Проверим остаток от деления 211 на 9. Сумма цифр 2+1+1 = 4. 4 делится на 9 с остатком 4. Значит, 211 делится на 9 с остатком 4. Это не подходит.
2. Если $$x=42$$, то $$d=2$$. Трёхзначное число = 422.
• Проверим остаток от деления 422 на 9. Сумма цифр 4+2+2 = 8. 8 делится на 9 с остатком 8. Значит, 422 делится на 9 с остатком 8. Это не подходит.
3. Если $$x=63$$, то $$d=3$$. Трёхзначное число = 633.
• Проверим остаток от деления 633 на 9. Сумма цифр 6+3+3 = 12. 12 делится на 9 с остатком 3. Значит, 633 делится на 9 с остатком 3. Это подходит.
4. Если $$x=84$$, то $$d=4$$. Трёхзначное число = 844.
• Проверим остаток от деления 844 на 9. Сумма цифр 8+4+4 = 16. 16 делится на 9 с остатком 7. Значит, 844 делится на 9 с остатком 7. Это не подходит.

Единственное двузначное число, удовлетворяющее всем условиям, — это 63.

Ответ: 63.