4. Заполните пустые клетки таблицы по образцу первого столбика. Какое утверждение можно сформулировать? Обоснуйте его

Решение:

Заполним таблицу, используя известные соотношения между НОД, НОК, произведением чисел и их суммой. Для любых двух натуральных чисел \( a \) и \( b \) справедливо равенство: \( a \cdot b = \text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) \).

Заполняем первую строку таблицы:
\( a = 20, b = 35 \)
НОД (20; 35) = 5 (так как 20 = 2 \( \cdot \) 2 \( \cdot \) 5, а 35 = 5 \( \cdot \) 7)
НОК (20; 35) = \( \frac{20 \cdot 35}{5} = \frac{700}{5} = 140 \)
\( a \cdot b = 20 \cdot 35 = 700 \)

Заполняем вторую строку таблицы:
\( a = 42, b = 48 \)
НОД (42; 48) = 6 (так как 42 = 2 \( \cdot \) 3 \( \cdot \) 7, а 48 = 2 \( \cdot \) 2 \( \cdot \) 2 \( \cdot \) 2 \( \cdot \) 3)
НОК (42; 48) = \( \frac{42 \cdot 48}{6} = \frac{2016}{6} = 336 \) (в таблице указано 140, вероятно, ошибка в образце)
\( a \cdot b = 42 \cdot 48 = 2016 \)

Заполняем третью строку таблицы:
\( a = 36, b = 48 \)
НОД (36; 48) = 12 (так как 36 = 2 \( \cdot \) 2 \( \cdot \) 3 \( \cdot \) 3, а 48 = 2 \( \cdot \) 2 \( \cdot \) 2 \( \cdot \) 2 \( \cdot \) 3)
НОК (36; 48) = \( \frac{36 \cdot 48}{12} = \frac{1728}{12} = 144 \) (в таблице указано 140, вероятно, ошибка в образце)
\( a \cdot b = 36 \cdot 48 = 1728 \)

Заполняем четвертую строку таблицы:
\( a = 66, b = 88 \)
НОД (66; 88) = 22 (так как 66 = 2 \( \cdot \) 3 \( \cdot \) 11, а 88 = 2 \( \cdot \) 2 \( \cdot \) 2 \( \cdot \) 11)
НОК (66; 88) = \( \frac{66 \cdot 88}{22} = \frac{5808}{22} = 264 \) (в таблице указано 140, вероятно, ошибка в образце)
\( a \cdot b = 66 \cdot 88 = 5808 \)

Заполняем пятую строку таблицы:
\( a = 26, b = 52 \)
НОД (26; 52) = 26 (так как 52 = 2 \( \cdot \) 26)
НОК (26; 52) = \( \frac{26 \cdot 52}{26} = 52 \) (в таблице указано 140, вероятно, ошибка в образце)
\( a \cdot b = 26 \cdot 52 = 1352 \)

Заполняем шестую строку таблицы:
\( a = 102, b = 540 \)
НОД (102; 540) = 6 (так как 102 = 2 \( \cdot \) 3 \( \cdot \) 17, а 540 = 2 \( \cdot \) 2 \( \cdot \) 3 \( \cdot \) 3 \( \cdot \) 3 \( \cdot \) 5)
НОК (102; 540) = \( \frac{102 \cdot 540}{6} = \frac{55080}{6} = 9180 \) (в таблице указано 140, вероятно, ошибка в образце)
\( a \cdot b = 102 \cdot 540 = 55080 \)

Заполненная таблица (с учетом исправлений):

Утверждение:

Для любых двух натуральных чисел \( a \) и \( b \) справедливо равенство: произведение этих чисел равно произведению их наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК). То есть:

\( a \cdot b = \text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) \)

Обоснование:

Это утверждение является фундаментальным свойством чисел. Оно следует из представления чисел в виде их канонических разложений на простые множители. Если \( a = p_1^{a_1} ∷ p_n^{a_n} \) и \( b = p_1^{b_1} ∷ p_n^{b_n} \), то

\( \text{НОД}(a, b) = p_1^{\min(a_1, b_1)} ∷ p_n^{\min(a_n, b_n)} \)

\( \text{НОК}(a, b) = p_1^{\max(a_1, b_1)} ∷ p_n^{\max(a_n, b_n)} \)

Тогда

\( \text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) = p_1^{\min(a_1, b_1) + \max(a_1, b_1)} ∷ p_n^{\min(a_n, b_n) + \max(a_n, b_n)} \)

Поскольку для любых двух чисел \( x \) и \( y \) верно, что \( \min(x, y) + \max(x, y) = x + y \), то

\( \text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) = p_1^{a_1 + b_1} ∷ p_n^{a_n + b_n} = (p_1^{a_1} ∷ p_n^{a_n}) \cdot (p_1^{b_1} ∷ p_n^{b_n}) = a \cdot b \)

Ответ: Утверждение: Для любых двух натуральных чисел \( a \) и \( b \) верно равенство \( a \cdot b = \text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) \).