40. а) (x − 1)²(x² + 4x − 12) < 0; б) (x + 2)(x² − 6x − 16) > 0; в) (x + 3)²(x² − 10x + 21) ≥ 0; г) (x − 1)(x² − 7x + 6) ≥ 0.

Question

Вопрос:

40. а) (x − 1)²(x² + 4x − 12) < 0; б) (x + 2)(x² − 6x − 16) > 0; в) (x + 3)²(x² − 10x + 21) ≥ 0; г) (x − 1)(x² − 7x + 6) ≥ 0.

Accepted Answer

а) Разложим квадратный трёхчлен на множители: \(x^2+4x-12=(x+6)(x-2)\). Он отрицателен при \(-6

Ответ: \((-6,1)\cup(1,2)\).

б) \(x^2-6x-16=(x-8)(x+2)\), поэтому \((x+2)(x^2-6x-16)=(x+2)^2(x-8)\). Квадрат положителен при \(x\ne-2\); произведение положительно при \(x>8\).

Ответ: \((8,+)\).

в) \(x^2-10x+21=(x-3)(x-7)\). Этот трёхчлен неотрицателен при \(x\le3\) или \(x\ge7\). Множитель \((x+3)^2\) неотрицателен, а его нуль \(x=-3\) уже входит в промежуток \(x\le3\).

Ответ: \((-,3]\cup[7,+)\).

г) \(x^2-7x+6=(x-1)(x-6)\), значит, произведение равно \((x-1)^2(x-6)\). Оно обращается в нуль при \(x=1\) и \(x=6\); при \(x=1\) значение равно нулю, а при \(x>6\) произведение положительно.

Ответ: \(\{1\}\cup[6,+)\).