40. Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями: x₁ = 0,02 cos (5πt + π/2) (м) и x₂ = 0,03 cos (5πt + π/4) (м). Дать векторную диаграмму. Написать уравнение результирующего колебания.

Решение:

Для сложения колебаний воспользуемся методом векторных диаграмм. Оба колебания имеют одинаковую угловую частоту \( \omega = 5\pi \) рад/с.

Запишем начальные фазы:

• \( \varphi_1 = \frac{\pi}{2} \)
• \( \varphi_2 = \frac{\pi}{4} \)

Амплитуды колебаний:

• \( A_1 = 0.02 \) м
• \( A_2 = 0.03 \) м

Векторная диаграмма:

Представим колебания в виде векторов, выходящих из начала координат под углами, равными их начальным фазам.

Примечание: Векторная диаграмма схематична. Углы отсчитываются от оси Ox против часовой стрелки. В данном случае, для упрощения, ось Y совпадает с направлением первого вектора, а ось X — с нулевой фазой.

Нахождение результирующей амплитуды и фазы:

Найдем результирующую амплитуду \( A \) и начальную фазу \( \varphi \) с помощью теоремы косинусов для сложения векторов.

Разность фаз: \( \Delta\varphi = \varphi_1 - \varphi_2 = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \).

Результирующая амплитуда:

\[ A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\Delta\varphi)} \]\[ A = \sqrt{(0.02)^2 + (0.03)^2 + 2 \cdot 0.02 \cdot 0.03 \cos(\frac{\pi}{4})} \]\[ A = \sqrt{0.0004 + 0.0009 + 2 \cdot 0.0006 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} \]\[ A = \sqrt{0.0013 + 0.0006 \sqrt{2}} \approx \sqrt{0.0013 + 0.0008485} \approx \sqrt{0.0021485} \approx 0.04635 \text{ м} \]

Начальная фаза результирующего колебания:

Начальная фаза \( \varphi \) определяется по формуле:

\[ \tan(\varphi) = \frac{A_1 \sin(\varphi_1) + A_2 \sin(\varphi_2)}{A_1 \cos(\varphi_1) + A_2 \cos(\varphi_2)} \]\[ \tan(\varphi) = \frac{0.02 \sin(\frac{\pi}{2}) + 0.03 \sin(\frac{\pi}{4})}{0.02 \cos(\frac{\pi}{2}) + 0.03 \cos(\frac{\pi}{4})} \]\[ \tan(\varphi) = \frac{0.02 \cdot 1 + 0.03 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{0.02 \cdot 0 + 0.03 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} \]\[ \tan(\varphi) = \frac{0.02 + 0.03 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{0.03 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} \]\[ \tan(\varphi) = \frac{0.02}{0.03 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} + 1 \]\[ \tan(\varphi) = \frac{2}{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} + 1 = \frac{4}{3\sqrt{2}} + 1 = \frac{4\sqrt{2}}{6} + 1 = \frac{2\sqrt{2}}{3} + 1 \approx \frac{2 \cdot 1.414}{3} + 1 \approx \frac{2.828}{3} + 1 \approx 0.9427 + 1 \approx 1.9427 \]

Начальная фаза:

\( \varphi = \arctan(1.9427) \approx 1.094 \) радиан.

Уравнение результирующего колебания:

\( x(t) = A \cos(\omega t + \varphi) \)

\( x(t) \approx 0.04635 \cos(5\pi t + 1.094) \) м

Ответ: Амплитуда результирующего колебания \( A \approx 0.04635 \) м, начальная фаза \( \varphi \approx 1.094 \) радиан. Уравнение результирующего колебания: \( x(t) \approx 0.04635 \cos(5\pi t + 1.094) \) м.