40. Сократите: 1) \(\frac{6 \cdot 13}{26 \cdot 12}\) 2) \(\frac{24 \cdot 14}{49 \cdot 36}\) 3) \(\frac{3 \cdot 4 \cdot 5}{6 \cdot 12 \cdot 50}\) 4) \(\frac{9 \cdot 20 - 9 \cdot 7}{9 \cdot 23 + 9 \cdot 3}\)

Решение:

1) Сокращение дроби \(\frac{6 \cdot 13}{26 \cdot 12}\):

1. Разложим числа на множители: \( 26 = 2 \cdot 13 \), \( 12 = 2 \cdot 6 \).
2. Подставим множители в дробь: \(\frac{6 \cdot 13}{(2 \cdot 13) \cdot (2 \cdot 6)}\)
3. Сократим общие множители (6 и 13): \(\frac{\cancel{6} \cdot \cancel{13}}{2 \cdot \cancel{13} \cdot 2 \cdot \cancel{6}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}\)

2) Сокращение дроби \(\frac{24 \cdot 14}{49 \cdot 36}\):

1. Разложим числа на множители: \( 24 = 2 \cdot 12 \), \( 14 = 2 \cdot 7 \), \( 49 = 7 \cdot 7 \), \( 36 = 3 \cdot 12 \).
2. Подставим множители в дробь: \(\frac{(2 \cdot 12) \cdot (2 \cdot 7)}{(7 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 12)}\)
3. Сократим общие множители (12 и 7): \(\frac{2 \cdot \cancel{12} \cdot 2 \cdot \cancel{7}}{\cancel{7} \cdot 7 \cdot 3 \cdot \cancel{12}} = \frac{2 \cdot 2}{7 \cdot 3} = \frac{4}{21}\)

3) Сокращение дроби \(\frac{3 \cdot 4 \cdot 5}{6 \cdot 12 \cdot 50}\):

1. Разложим числа на множители: \( 6 = 2 \cdot 3 \), \( 12 = 3 \cdot 4 \), \( 50 = 5 \cdot 10 \).
2. Подставим множители в дробь: \(\frac{3 \cdot 4 \cdot 5}{(2 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 4) \cdot (5 \cdot 10)}\)
3. Сократим общие множители (3, 4, 5): \(\frac{\cancel{3} \cdot \cancel{4} \cdot \cancel{5}}{2 \cdot \cancel{3} \cdot 3 \cdot \cancel{4} \cdot \cancel{5} \cdot 10} = \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 10} = \frac{1}{60}\)

4) Упрощение выражения \(\frac{9 \cdot 20 - 9 \cdot 7}{9 \cdot 23 + 9 \cdot 3}\):

1. Вынесем общий множитель 9 в числителе и знаменателе: \(\frac{9 \cdot (20 - 7)}{9 \cdot (23 + 3)}\)
2. Сократим общий множитель 9: \(\frac{\cancel{9} \cdot (20 - 7)}{\cancel{9} \cdot (23 + 3)} = \frac{20 - 7}{23 + 3}\)
3. Вычислим числитель и знаменатель: \(\frac{13}{26}\)
4. Сократим дробь \(\frac{13}{26}\) на 13: \(\frac{13}{2 \cdot 13} = \frac{1}{2}\)

Ответ: 1) \(\frac{1}{4}\); 2) \(\frac{4}{21}\); 3) \(\frac{1}{60}\); 4) \(\frac{1}{2}\).