404. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Пусть в прямоугольном треугольнике \(ABC\) угол \(C\) прямой, а \(CM\) — медиана к гипотенузе \(AB\). Тогда \(M\) — середина гипотенузы, поэтому \(AM=BM=\dfrac{AB}{2}\).

Рассмотрим окружность с центром в точке \(M\) и радиусом \(MA\). Так как \(M\) — середина отрезка \(AB\), точки \(A\) и \(B\) лежат на этой окружности. По теореме Фалеса угол \(ACB\), опирающийся на диаметр \(AB\), прямой. Следовательно, точка \(C\) также лежит на этой окружности.

Значит, \(CM=MA=MB\). Поэтому

\[CM=\dfrac{AB}{2}.\]

Ответ: медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.