404. Решите неравенства: 1) x² + 6x − 7 < 0; 2) x² − 8x − 48 ≥ 0; 3) −x² − 6x − 5 > 0; 4) −x² + 4x − 3 < 0; 5) 3x² − 7x + 4 ≤ 0; 6) 2x² + 3x + 1 > 0; 7) 4x² − 12x ≤ 0; 8) 4x² − 9 > 0; 9) x² − 12x + 36 > 0; 10) 4x² − 12x + 9 ≥ 0; 11) x² + 4x + 4 < 0; 12) 49x² − 14x + 1 ≤ 0; 13) 2x² − x + 3 > 0; 14) 3x² − 4x + 5 ≤ 0; 15) −4x² + 5x − 7 > 0; 16) −2x² + 3x − 2 ≤ 0.

Question

Вопрос:

Фото задания

404. Решите неравенства: 1) x² + 6x − 7 < 0; 2) x² − 8x − 48 ≥ 0; 3) −x² − 6x − 5 > 0; 4) −x² + 4x − 3 < 0; 5) 3x² − 7x + 4 ≤ 0; 6) 2x² + 3x + 1 > 0; 7) 4x² − 12x ≤ 0; 8) 4x² − 9 > 0; 9) x² − 12x + 36 > 0; 10) 4x² − 12x + 9 ≥ 0; 11) x² + 4x + 4 < 0; 12) 49x² − 14x + 1 ≤ 0; 13) 2x² − x + 3 > 0; 14) 3x² − 4x + 5 ≤ 0; 15) −4x² + 5x − 7 > 0; 16) −2x² + 3x − 2 ≤ 0.

Accepted Answer

Разложим на множители: \(x^2+6x-7=(x+7)(x-1)\). Парабола направлена вверх, поэтому выражение отрицательно между корнями: \(x\in(-7;1)\).
\(x^2-8x-48=(x+4)(x-12)\). Выражение неотрицательно вне промежутка между корнями: \(x\in(-\infty;-4]\cup[12;+\infty)\).
\(-x^2-6x-5=-(x+1)(x+5)\). Для строгого положительного значения произведение \((x+1)(x+5)\) должно быть отрицательным: \(x\in(-5;-1)\).
\(-x^2+4x-3=-(x-1)(x-3)\). Выражение отрицательно вне корней: \(x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty)\).
\(3x^2-7x+4=(3x-4)(x-1)\). Поскольку ветви направлены вверх, выражение неположительно между корнями включительно: \(x\in[1;\frac{4}{3}]\).
\(2x^2+3x+1=(2x+1)(x+1)\). Выражение положительно вне корней: \(x\in(-\infty;-1)\cup(-\frac12;+\infty)\).
\(4x^2-12x=4x(x-3)\). Произведение неположительно между корнями: \(x\in[0;3]\).
\(4x^2-9=(2x-3)(2x+3)\). Выражение положительно вне корней, сами корни не включаются: \(x\in(-\infty;-\frac32)\cup(\frac32;+\infty)\).
\(x^2-12x+36=(x-6)^2\). Квадрат положителен при всех \(x\), кроме \(x=6\): \(x\in(-\infty;6)\cup(6;+\infty)\).
\(4x^2-12x+9=(2x-3)^2\). Квадрат любого числа неотрицателен: \(x\in\mathbb{R}\).
\(x^2+4x+4=(x+2)^2\). Квадрат не может быть строго меньше нуля: решений нет, \(\varnothing\).
\(49x^2-14x+1=(7x-1)^2\). Квадрат неотрицателен и равен нулю при \(x=\frac17\): \(x=\frac17\).
Дискриминант: \(D=(-1)^2-4\cdot2\cdot3=-23<0\). При положительном старшем коэффициенте квадратный трёхчлен всегда положителен: \(x\in\mathbb{R}\).
Дискриминант: \(D=(-4)^2-4\cdot3\cdot5=-44<0\). Трёхчлен с положительным старшим коэффициентом всегда положителен, поэтому условие \(\le 0\) не выполняется: \(\varnothing\).
Для \(-4x^2+5x-7\) дискриминант равен \(25-112=-87<0\), а старший коэффициент отрицателен. Выражение всегда отрицательно, решений нет: \(\varnothing\).
Для \(-2x^2+3x-2\) дискриминант равен \(9-16=-7<0\), а старший коэффициент отрицателен. Выражение всегда отрицательно, значит неравенство верно при всех действительных \(x\): \(x\in\mathbb{R}\).

Ответ: