407. Окно в старинном особняке имеет форму прямоугольника, завершающегося полукругом (рис. 72). Составьте формулу для вычисления его площади S (в квадратных сантиметрах), если известно, что основание прямоугольника равно a см, высота прямоугольника в полтора раза больше основания. Найдите площадь окна, если a = 80. (Указание. Площадь круга равна πr², где r — радиус круга, π ≈ 3,14.)

Основание прямоугольника равно a, его высота равна 1,5a. Полукруг сверху имеет диаметр a, поэтому его радиус равен a/2.

Площадь окна — сумма площади прямоугольника и площади полукруга:

\[S=a\cdot1.5a+\frac{1}{2}\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2=1.5a^2+\frac{\pi a^2}{8}.\]

При a = 80 см высота прямоугольника равна 1,5 · 80 = 120 см, а радиус полукруга — 80 : 2 = 40 см.

\[S=80\cdot120+\frac{1}{2}\cdot3.14\cdot40^2=9600+2512=12112.\]

Ответ: \(S=1.5a^2+\frac{\pi a^2}{8}\); при \(a=80\) площадь окна равна 12 112 см².