409. Приведите числовые выражения к виду \(a\sqrt[n]{b}\), где \(a\) — рациональное число, \(b\) — натуральное: а) \(\sqrt[12]{25^3}\); б) \(\sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot\sqrt[4]{2}}\); в) \(\sqrt[8]{\frac{16^3}{81}}\); г) \(\sqrt[4]{\frac{1}{4}\sqrt[3]{5}}\).

а) \(\sqrt[12]{25^3}=\sqrt[12]{5^6}=\sqrt{5}\).

б) \(\sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot\sqrt[4]{2}}=\sqrt[3]{2^{-1}\cdot2^{1/4}}=2^{-1/4}=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}\). Чтобы получить натуральное подкоренное число, домножим числитель и знаменатель на \(\sqrt[4]{8}\): \(\frac{1}{\sqrt[4]{2}}=\frac{1}{2}\sqrt[4]{8}\).

в) \(\sqrt[8]{\frac{16^3}{81}}=\sqrt[8]{\frac{2^{12}}{3^4}}=\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{6}\).

г) \(\sqrt[4]{\frac{1}{4}\sqrt[3]{5}}=\sqrt[12]{\frac{5}{64}}\). Так как \(\left(\frac{1}{2}\right)^{12}\cdot320=\frac{5}{64}\), получаем \(\sqrt[12]{\frac{5}{64}}=\frac{1}{2}\sqrt[12]{320}\).