409. Расположите в порядке возрастания числа: а) \(3\sqrt{3},\ 2\sqrt{6},\ \sqrt{29},\ 4\sqrt{2},\ 2\sqrt{11}\); б) \(6\sqrt{2},\ \sqrt{58},\ 3\sqrt{7},\ 2\sqrt{14},\ 5\sqrt{3}\); в) \(-\sqrt{11},\ -2\sqrt{5},\ \sqrt{2},\ -2\sqrt{6},\ -\sqrt{51}\); г) \(-\sqrt{83},\ -9\sqrt{2},\ -\sqrt{17},\ -5\sqrt{8},\ -\frac{1}{3}\sqrt{18}\).

Для положительных чисел сравним квадраты: порядок квадратов совпадает с порядком самих чисел. Для отрицательных чисел учитываем, что большее значение модуля означает меньшее число.

1. а) Квадраты чисел: \(27, 24, 29, 32, 44\). Поэтому \(2\sqrt{6}<3\sqrt{3}<\sqrt{29}<4\sqrt{2}<2\sqrt{11}\).
2. б) Квадраты чисел: \(72, 58, 63, 56, 75\). Поэтому \(2\sqrt{14}<\sqrt{58}<3\sqrt{7}<6\sqrt{2}<5\sqrt{3}\).
3. в) Среди отрицательных чисел сравним модули: \(\sqrt{51}>2\sqrt{6}>2\sqrt{5}>\sqrt{11}\); положительное \(\sqrt{2}\) больше всех отрицательных. Получаем \(-\sqrt{51}<-2\sqrt{6}<-2\sqrt{5}<-\sqrt{11}<\sqrt{2}\).
4. г) Преобразуем \(\frac{1}{3}\sqrt{18}=\sqrt{2}\) и \(5\sqrt{8}=10\sqrt{2}\). Для модулей отрицательных чисел: \(10\sqrt{2}>9\sqrt{2}>\sqrt{83}>\sqrt{17}>\sqrt{2}\). Следовательно, \(-5\sqrt{8}<-9\sqrt{2}<-\sqrt{83}<-\sqrt{17}<-\frac{1}{3}\sqrt{18}\).