41. Диагональ B₁D прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ составляет с плоскостью основания угол в 45°, а двугранный угол A₁B₁BD равен 60°. Найдите объем параллелепипеда, учитывая, что диагональ основания равна 12 см.

Обозначим размеры основания через AB и BC, а высоту — через BB₁.

1. Проекция диагонали B₁D на плоскость основания — диагональ BD. Так как угол между диагональю и основанием равен 45°, то \(BB₁=BD\cdot\tan45^\circ=12\cdot1=12\text{ см}\).
2. Двугранный угол \(A₁B₁BD=60^\circ\) равен углу между ребром основания BA и диагональю основания BD. Поэтому \(AB=BD\cos60^\circ=12\cdot\frac12=6\text{ см}\).
3. По теореме Пифагора для основания: \(BC=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{108}=6\sqrt3\text{ см}\).
4. Объём параллелепипеда: \(V=AB\cdot BC\cdot BB₁=6\cdot6\sqrt3\cdot12=432\sqrt3\text{ см}^3\).

Ответ: \(432\sqrt3\text{ см}^3\).