41. На координатной плоскости изображены векторы а и Б. Найдите cosa, где а - угол между векторами а и Б.

Решение:

Для нахождения косинуса угла между векторами, воспользуемся формулой:

\( \cos \alpha = \frac{a \cdot b}{|a| |b|} \)

Определим координаты векторов по графикам:

Вектор \( a \): начало в точке (0,0), конец в точке (2,1). Следовательно, \( \vec{a} = \langle 2, 1 \rangle \).

Вектор \( b \): начало в точке (0,0), конец в точке (3,2). Следовательно, \( \vec{b} = \langle 3, 2 \rangle \).

Вычислим скалярное произведение векторов \( a \) и \( b \):

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 + 1 \cdot 2 = 6 + 2 = 8 \)

Найдем длины векторов \( a \) и \( b \):

\( |a| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \)

\( |b| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \)

Подставим значения в формулу косинуса угла:

\( \cos \alpha = \frac{8}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{13}} = \frac{8}{\sqrt{65}} \)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{65} \):

\( \cos \alpha = \frac{8 \sqrt{65}}{65} \)

Ответ: \( \frac{8 \sqrt{65}}{65} \).