41. Найдите область определения и область значений функции \(y=f(x)\), если: а) \(f(x)=\dfrac{x^2-3x}{x}\); в) \(f(x)=\dfrac{25-4x^2}{2x+5}\).

а) Знаменатель не должен равняться нулю: \(x\ne0\). При этих значениях \(f(x)=\dfrac{x(x-3)}x=x-3\). Значение \(-3\) функция могла бы принимать только при \(x=0\), который исключён. Поэтому \(D(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}\), \(E(f)=\mathbb{R}\setminus\{-3\}\).

в) Знаменатель не должен равняться нулю: \(2x+5\ne0\), то есть \(x\ne-\dfrac52\). Раскладываем числитель на множители и сокращаем:

\(f(x)=\dfrac{(5-2x)(5+2x)}{5+2x}=5-2x\), где \(x\ne-\dfrac52\).

Для линейного выражения \(5-2x\) исключённое значение аргумента соответствовало бы значению \(y=10\); оно не достигается. Следовательно, \(D(f)=\mathbb{R}\setminus\{-\dfrac52\}\), \(E(f)=\mathbb{R}\setminus\{10\}\).

Ответ: а) \(D(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}\), \(E(f)=\mathbb{R}\setminus\{-3\}\); в) \(D(f)=\mathbb{R}\setminus\{-\dfrac52\}\), \(E(f)=\mathbb{R}\setminus\{10\}\).