41. Решите уравнение: 1) \(\frac{x+4}{x-1}=0\); 2) \(\frac{x^2-9}{x-3}=0\); 3) \(\frac{x+5}{x^2-25}=0\); 4) \(\frac{8}{x-4}-\frac{2}{x+4}=0\); 5) \(\frac{x-1}{x+2}=\frac{2x-1}{2x+1}\); 6) \(\frac{3x-5}{x-1}-\frac{2x-5}{x-2}=1\); 7) \(\frac{x^2+9}{x^2-1}=\frac{x-2}{x+1}-\frac{5}{1-x}\); 8) \(\frac{1}{x^2-6x}+\frac{1}{x^2+6x}=\frac{2x}{x^2-36}\).

1. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: \(x+4=0\), поэтому \(x=-4\). Это значение допустимо (\(x\ne1\)).

2. \(x^2-9=(x-3)(x+3)\), при этом \(x\ne3\). Уравнение сводится к \(x+3=0\), откуда \(x=-3\).

3. Знаменатель \((x-5)(x+5)\) требует \(x\ne -5,5\). Единственный ноль числителя — \(x=-5\), но он запрещён знаменателем. Корней нет.

4. ОДЗ: \(x\ne4,-4\). Умножим уравнение на \((x-4)(x+4)\):

   \(8(x+4)-2(x-4)=0\), \(6x+40=0\), откуда \(x=-\frac{20}{3}\). Значение допустимо.

5. ОДЗ: \(x\ne-2,-\frac12\). Перемножим крест-накрест:

   \((x-1)(2x+1)=(2x-1)(x+2)\).

   После раскрытия скобок: \(2x^2-x-1=2x^2+3x-2\), откуда \(x=\frac14\). Значение допустимо.

6. ОДЗ: \(x\ne1,2\). Умножаем на \((x-1)(x-2)\):

   \((3x-5)(x-2)-(2x-5)(x-1)=(x-1)(x-2)\).

   После упрощения получаем \(x^2-4x+5=x^2-3x+2\), поэтому \(x=3\). Значение допустимо.

7. ОДЗ: \(x\ne-1,1\). Так как \(-\frac{5}{1-x}=\frac{5}{x-1}\), правая часть равна

   \(\frac{(x-2)(x-1)+5(x+1)}{x^2-1}=\frac{x^2+2x+7}{x^2-1}\).

   Приравниваем числители: \(x^2+9=x^2+2x+7\), откуда \(x=1\). Это значение исключено из ОДЗ, поэтому корней нет.

8. ОДЗ: \(x\ne0,-6,6\). Сложим дроби в левой части:

   \(\frac{1}{x(x-6)}+\frac{1}{x(x+6)}=\frac{2x^2}{x^2(x^2-36)}=\frac{2}{x^2-36}\).

   Тогда \(\frac{2}{x^2-36}=\frac{2x}{x^2-36}\), следовательно, \(x=1\). Это значение допустимо.

Ответ: 1) \(-4\); 2) \(-3\); 3) корней нет; 4) \(-\frac{20}{3}\); 5) \(\frac14\); 6) \(3\); 7) корней нет; 8) \(1\).