41. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ отрезки AD и A₁D₁ — биссектрисы. AB = A₁B₁, BD = B₁D₁ и AD = A₁D₁. Докажите, что △ABC = △A₁B₁C₁.

Так как AD и A₁D₁ — биссектрисы, точки D и D₁ лежат на сторонах BC и B₁C₁ соответственно.

1. В треугольниках ABD и A₁B₁D₁:
   AB = A₁B₁, BD = B₁D₁, AD = A₁D₁.
   Следовательно, △ABD = △A₁B₁D₁ по трём сторонам.
2. Отсюда ∠BAD = ∠B₁A₁D₁ и ∠ADB = ∠A₁D₁B₁. Так как AD и A₁D₁ — биссектрисы, то ∠BAD = ∠DAC и ∠B₁A₁D₁ = ∠D₁A₁C₁. Поэтому ∠DAC = ∠D₁A₁C₁.
3. Точки B,D,C и B₁,D₁,C₁ лежат на одной прямой, поэтому углы ∠ADB и ∠ADC, а также ∠A₁D₁B₁ и ∠A₁D₁C₁ — смежные. Следовательно, ∠ADC = ∠A₁D₁C₁.
4. В треугольниках ADC и A₁D₁C₁ равны сторона AD = A₁D₁ и два прилежащих к ней угла: ∠DAC = ∠D₁A₁C₁, ∠ADC = ∠A₁D₁C₁. Поэтому △ADC = △A₁D₁C₁ по стороне и двум прилежащим углам.
5. Отсюда AC = A₁C₁ и ∠BAC = ∠B₁A₁C₁. Вместе с равенством AB = A₁B₁ получаем:

Ответ: △ABC = △A₁B₁C₁ по двум сторонам и углу между ними.