412. Даны равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, катетом AC = 12 см и квадрат CDEF, таким образом, что две его стороны лежат на катетах, а вершина E — на гипотенузе треугольника. Найдите периметр квадрата.

Пусть сторона квадрата равна \(x\) см. Так как квадрат расположен вершиной \(C\) в вершине прямого угла, его вершина \(E\) находится на гипотенузе.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, поэтому \(AC=BC=12\) см. Если катеты принять за координатные оси, то гипотенуза задаётся уравнением \(x+y=12\). Для вершины квадрата \(E\) координаты равны \((x,x)\), поэтому:

\[x+x=12;\]

\[2x=12;\]

\[x=6\text{ см}.\]

Периметр квадрата:

\[P=4x=4\cdot6=24\text{ см}.\]

Ответ: 24 см.