417. Способом сложения решите систему уравнений: a) {2x + y = 11, 3x - y = 9; б) {3x - y = 4, 5x + y = 12; в) {2x + 11y = 15, 10x - 11y = 9; г) {7x - 4y = 13, 3x + 4y = 17; д) {4x + 5y = 1, 5x + 7y = 5; e) {3x - 5y = 25, 4x + 3y = 43; ж) {7x - 5y = 5, 5x + 3y = 43; 3) {4x - 3y = 12, 3x + 4y = -66; и) {3x - 7y = 17, 2x + 3y = -4; к) {5x + 2y = -4, 3x - 4y = -18.

Привет! Давай решим эти системы уравнений способом сложения. Этот метод отлично подходит, когда коэффициенты при одной из переменных (x или y) в обоих уравнениях противоположны или одинаковы. Если они противоположны, просто складываем уравнения, чтобы исключить эту переменную. Если одинаковы, вычитаем одно уравнение из другого.

а)

• \[ \begin{cases} 2x + y = 11 \\ 3x - y = 9 \end{cases} \]
• Складываем уравнения, так как коэффициенты при 'y' противоположны (+1 и -1):
• \[ (2x + y) + (3x - y) = 11 + 9 \]
• \[ 5x = 20 \]
• \[ x = \frac{20}{5} = 4 \]
• Подставляем x = 4 в первое уравнение:
• \[ 2(4) + y = 11 \]
• \[ 8 + y = 11 \]
• \[ y = 11 - 8 = 3 \]
• Ответ: (4; 3)

б)

• \[ \begin{cases} 3x - y = 4 \\ 5x + y = 12 \end{cases} \]
• Складываем уравнения (коэффициенты при 'y' противоположны):
• \[ (3x - y) + (5x + y) = 4 + 12 \]
• \[ 8x = 16 \]
• \[ x = \frac{16}{8} = 2 \]
• Подставляем x = 2 во второе уравнение:
• \[ 5(2) + y = 12 \]
• \[ 10 + y = 12 \]
• \[ y = 12 - 10 = 2 \]
• Ответ: (2; 2)

в)

• \[ \begin{cases} 2x + 11y = 15 \\ 10x - 11y = 9 \end{cases} \]
• Складываем уравнения (коэффициенты при 'y' противоположны):
• \[ (2x + 11y) + (10x - 11y) = 15 + 9 \]
• \[ 12x = 24 \]
• \[ x = \frac{24}{12} = 2 \]
• Подставляем x = 2 в первое уравнение:
• \[ 2(2) + 11y = 15 \]
• \[ 4 + 11y = 15 \]
• \[ 11y = 15 - 4 \]
• \[ 11y = 11 \]
• \[ y = \frac{11}{11} = 1 \]
• Ответ: (2; 1)

г)

• \[ \begin{cases} 7x - 4y = 13 \\ 3x + 4y = 17 \end{cases} \]
• Складываем уравнения (коэффициенты при 'y' противоположны):
• \[ (7x - 4y) + (3x + 4y) = 13 + 17 \]
• \[ 10x = 30 \]
• \[ x = \frac{30}{10} = 3 \]
• Подставляем x = 3 во второе уравнение:
• \[ 3(3) + 4y = 17 \]
• \[ 9 + 4y = 17 \]
• \[ 4y = 17 - 9 \]
• \[ 4y = 8 \]
• \[ y = \frac{8}{4} = 2 \]
• Ответ: (3; 2)

д)

• \[ \begin{cases} 4x + 5y = 1 \\ 5x + 7y = 5 \end{cases} \]
• Здесь коэффициенты не противоположны и не равны. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -4, чтобы коэффициенты при 'x' стали противоположными.
• \[ 5(4x + 5y) = 5(1) \rightarrow 20x + 25y = 5 \]
• \[ -4(5x + 7y) = -4(5) \rightarrow -20x - 28y = -20 \]
• Складываем новые уравнения:
• \[ (20x + 25y) + (-20x - 28y) = 5 + (-20) \]
• \[ -3y = -15 \]
• \[ y = \frac{-15}{-3} = 5 \]
• Подставляем y = 5 в первое уравнение:
• \[ 4x + 5(5) = 1 \]
• \[ 4x + 25 = 1 \]
• \[ 4x = 1 - 25 \]
• \[ 4x = -24 \]
• \[ x = \frac{-24}{4} = -6 \]
• Ответ: (-6; 5)

е)

• \[ \begin{cases} 3x - 5y = 25 \\ 4x + 3y = 43 \end{cases} \]
• Умножим первое уравнение на 3, а второе на 5, чтобы коэффициенты при 'y' стали противоположными.
• \[ 3(3x - 5y) = 3(25) \rightarrow 9x - 15y = 75 \]
• \[ 5(4x + 3y) = 5(43) \rightarrow 20x + 15y = 215 \]
• Складываем новые уравнения:
• \[ (9x - 15y) + (20x + 15y) = 75 + 215 \]
• \[ 29x = 290 \]
• \[ x = \frac{290}{29} = 10 \]
• Подставляем x = 10 в первое уравнение:
• \[ 3(10) - 5y = 25 \]
• \[ 30 - 5y = 25 \]
• \[ -5y = 25 - 30 \]
• \[ -5y = -5 \]
• \[ y = \frac{-5}{-5} = 1 \]
• Ответ: (10; 1)

ж)

• \[ \begin{cases} 7x - 5y = 5 \\ 5x + 3y = 43 \end{cases} \]
• Умножим первое уравнение на 3, а второе на 5, чтобы коэффициенты при 'y' стали противоположными.
• \[ 3(7x - 5y) = 3(5) \rightarrow 21x - 15y = 15 \]
• \[ 5(5x + 3y) = 5(43) \rightarrow 25x + 15y = 215 \]
• Складываем новые уравнения:
• \[ (21x - 15y) + (25x + 15y) = 15 + 215 \]
• \[ 46x = 230 \]
• \[ x = \frac{230}{46} = 5 \]
• Подставляем x = 5 во второе уравнение:
• \[ 5(5) + 3y = 43 \]
• \[ 25 + 3y = 43 \]
• \[ 3y = 43 - 25 \]
• \[ 3y = 18 \]
• \[ y = \frac{18}{3} = 6 \]
• Ответ: (5; 6)

3)

• \[ \begin{cases} 4x - 3y = 12 \\ 3x + 4y = -66 \end{cases} \]
• Умножим первое уравнение на 4, а второе на 3, чтобы коэффициенты при 'y' стали противоположными.
• \[ 4(4x - 3y) = 4(12) \rightarrow 16x - 12y = 48 \]
• \[ 3(3x + 4y) = 3(-66) \rightarrow 9x + 12y = -198 \]
• Складываем новые уравнения:
• \[ (16x - 12y) + (9x + 12y) = 48 + (-198) \]
• \[ 25x = -150 \]
• \[ x = \frac{-150}{25} = -6 \]
• Подставляем x = -6 в первое уравнение:
• \[ 4(-6) - 3y = 12 \]
• \[ -24 - 3y = 12 \]
• \[ -3y = 12 + 24 \]
• \[ -3y = 36 \]
• \[ y = \frac{36}{-3} = -12 \]
• Ответ: (-6; -12)

и)

• \[ \begin{cases} 3x - 7y = 17 \\ 2x + 3y = -4 \end{cases} \]
• Умножим первое уравнение на 3, а второе на 7, чтобы коэффициенты при 'y' стали противоположными.
• \[ 3(3x - 7y) = 3(17) \rightarrow 9x - 21y = 51 \]
• \[ 7(2x + 3y) = 7(-4) \rightarrow 14x + 21y = -28 \]
• Складываем новые уравнения:
• \[ (9x - 21y) + (14x + 21y) = 51 + (-28) \]
• \[ 23x = 23 \]
• \[ x = \frac{23}{23} = 1 \]
• Подставляем x = 1 во второе уравнение:
• \[ 2(1) + 3y = -4 \]
• \[ 2 + 3y = -4 \]
• \[ 3y = -4 - 2 \]
• \[ 3y = -6 \]
• \[ y = \frac{-6}{3} = -2 \]
• Ответ: (1; -2)

к)

• \[ \begin{cases} 5x + 2y = -4 \\ 3x - 4y = -18 \end{cases} \]
• Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при 'y' стали противоположными.
• \[ 2(5x + 2y) = 2(-4) \rightarrow 10x + 4y = -8 \]
• \[ 3x - 4y = -18 \]
• Складываем новые уравнения:
• \[ (10x + 4y) + (3x - 4y) = -8 + (-18) \]
• \[ 13x = -26 \]
• \[ x = \frac{-26}{13} = -2 \]
• Подставляем x = -2 в первое уравнение:
• \[ 5(-2) + 2y = -4 \]
• \[ -10 + 2y = -4 \]
• \[ 2y = -4 + 10 \]
• \[ 2y = 6 \]
• \[ y = \frac{6}{2} = 3 \]
• Ответ: (-2; 3)