42.11. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции: 1) \(f(x)=3x^4-8x^3+6x^2-9\);

Найдём производную:

\[f'(x)=12x^3-24x^2+12x=12x(x-1)^2.\]

Критические точки: \(x=0\) и \(x=1\). Так как \((x-1)^2\ge 0\), знак производной определяется знаком \(x\):

• при \(x<0\): \(f'(x)<0\), функция убывает;
• при \(x>0\): \(f'(x)>0\), функция возрастает.

В точке \(x=1\) знак производной не меняется, поэтому экстремума нет.

Значение функции в точке \(x=0\):

\[f(0)=-9.\]

Ответ: функция убывает на \((-\infty;0)\), возрастает на \((0;+\infty)\). Точка минимума: \((0;-9)\). Точка \(x=1\) стационарная, но не является точкой экстремума.