42) log_5^2x + log_{sqrt{5}}x - 3 = 0

Решение:

Для решения уравнения используем свойства логарифмов.

1. Перепишем \( \log_{\sqrt{5}}x \) как \( \log_{5^{1/2}}x \). По свойству логарифма \( \log_{a^m}b = \frac{1}{m}\log_a b \), имеем: \( \log_{5^{1/2}}x = \frac{1}{1/2}\log_5 x = 2\log_5 x \).
2. Заметим, что \( \log_5^2 x = (\log_5 x)^2 \).
3. Подставим полученные выражения в исходное уравнение: \( (\log_5 x)^2 + 2\log_5 x - 3 = 0 \).
4. Сделаем замену: \( y = \log_5 x \). Получим квадратное уравнение: \( y^2 + 2y - 3 = 0 \).
5. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \).
6. Найдем корни квадратного уравнения: \( y_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) и \( y_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \).
7. Вернёмся к замене:
• \( \log_5 x = 1 \implies x = 5^1 = 5 \).
• \( \log_5 x = -3 \implies x = 5^{-3} = \frac{1}{125} \).
8. Проверим ОДЗ (область допустимых значений): \( x > 0 \). Оба корня удовлетворяют этому условию.

Ответ: \( x = 5 \) и \( x = \frac{1}{125} \).