42. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда MNOPM₁N₁O₁P₁, учитывая, что: а) MO₁ = 1 м, ∠O₁MO = 45°, ∠O₁MN = 60°; б) MO₁ = 24 см, ∠O₁MP₁ = 45° и диагональ MO₁ составляет угол в 30° с плоскостью одной из боковых граней.

а) Пусть \(MN=a\), \(NP=b\), \(MM₁=c\).

1. Из угла между пространственной диагональю MO₁ и диагональю основания MO: \(MO=MO₁\cos45^\circ=1\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}\text{ м}\).
2. Из угла между MO₁ и ребром MN: \(MN=MO₁\cos60^\circ=1\cdot\frac12=\frac12\text{ м}\).
3. Найдём второе измерение основания: \(NP=\sqrt{MO^2-MN^2}=\sqrt{\frac12-\frac14}=\frac12\text{ м}\).
4. Высота: \(MM₁=\sqrt{MO₁^2-MO^2}=\sqrt{1-\frac12}=\frac{\sqrt2}{2}\text{ м}\).
5. Объём: \(V=MN\cdot NP\cdot MM₁=\frac12\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{8}\text{ м}^3\).

Ответ к а): \(\frac{\sqrt2}{8}\text{ м}^3\).

б) Пусть \(MN=a\), \(NP=b\), \(MM₁=c\). Пространственная диагональ равна 24 см.

1. Угол между диагональю MO₁ и диагональю боковой грани MP₁ равен 45°. Поэтому \(MP₁=MO₁\cos45^\circ=24\cdot\frac{\sqrt2}{2}=12\sqrt2\text{ см}\).
2. Диагональ MP₁ лежит в грани с измерениями NP и MM₁, поэтому \(b^2+c^2=(12\sqrt2)^2=288\).
3. Из пространственной диагонали: \(a^2+b^2+c^2=24^2=576\). Следовательно, \(a^2=576-288=288\), откуда \(a=12\sqrt2\text{ см}\).
4. Угол между MO₁ и плоскостью боковой грани равен 30°. Перпендикулярная к этой грани составляющая диагонали равна \(24\sin30^\circ=12\text{ см}\). Следовательно, \(b=12\text{ см}\).
5. Тогда \(c^2=288-12^2=144\), значит \(c=12\text{ см}\).
6. Объём: \(V=12\sqrt2\cdot12\cdot12=1728\sqrt2\text{ см}^3\).

Ответ к б): \(1728\sqrt2\text{ см}^3\).