42. Равнобедренные треугольники ADC и BCD имеют общее основание DC. Прямая AB пересекает отрезок CD в точке O. Докажите, что: а) ∠ADB = ∠ACB; б) DO = OC.

Так как треугольник ADC равнобедренный с основанием DC, то AD = AC. Так как треугольник BCD равнобедренный с основанием DC, то BD = BC.

а) Рассмотрим треугольники ADB и ACB. У них:

• AD = AC;
• BD = BC;
• AB — общая сторона.

Следовательно, △ADB = △ACB по трём сторонам. Поэтому соответствующие углы равны:

∠ADB = ∠ACB.

б) Из равенства треугольников ADB и ACB следует равенство углов ∠DAB = ∠BAC. Поскольку точки A,O,B лежат на одной прямой, получаем ∠DAO = ∠OAC.

Рассмотрим треугольники ADO и ACO. В них:

• AD = AC;
• AO — общая сторона;
• ∠DAO = ∠OAC.

Следовательно, △ADO = △ACO по двум сторонам и углу между ними. Значит, соответствующие стороны равны:

DO = OC.