42. Решите уравнение: 3x³ - 13x² + 4x = 0

Решение:

Данное уравнение является кубическим. Чтобы его решить, вынесем общий множитель \( x \) за скобки:

\[ x(3x^2 - 13x + 4) = 0 \]

Это означает, что один из корней уравнения равен 0. Теперь решим квадратное уравнение \( 3x^2 - 13x + 4 = 0 \).

Используем формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 169 - 48 = 121 \]

Так как \( D > 0 \), квадратное уравнение имеет два действительных корня.

Найдём корни по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):

\[ x_1 = \frac{13 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 11}{6} = \frac{24}{6} = 4 \]

\[ x_2 = \frac{13 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 11}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

Таким образом, у исходного кубического уравнения три корня: \( x=0 \), \( x=4 \) и \( x=\frac{1}{3} \).

Ответ: \( x=0, x=4, x=\frac{1}{3} \).