420. Докажите, что если a > 0, b > 0, то: а) (√(ab) − √(b/a) − √(a/b) + √(1/(ab)))√(ab) = (a − 1)(b − 1); б) (2a√(ab) + a²√b + 2b√(ab) + ab√b)/(2√(ab) + a√b) = a + b; в) (a/b·√(b/a) + b/a·√(a/b))(√(ab) − √(a/b)) + (a + b)/b = a + b.

Так как \(a>0\) и \(b>0\), все указанные корни определены, а знаменатели в выражениях не равны нулю.

а) Раскроем умножение на \(\sqrt{ab}\), используя положительность \(a\) и \(b\):

\[\begin{aligned}(\sqrt{ab}-\sqrt{\frac ba}-\sqrt{\frac ab}+\sqrt{\frac1{ab}})\sqrt{ab}&=ab-b-a+1\\&=(a-1)(b-1).\end{aligned}\]

Следовательно, равенство доказано.

б) Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:

\[\begin{aligned}\frac{2a\sqrt{ab}+a^2\sqrt b+2b\sqrt{ab}+ab\sqrt b}{2\sqrt{ab}+a\sqrt b}&=\frac{\sqrt b\,(2a\sqrt a+a^2+2b\sqrt a+ab)}{\sqrt b\,(2\sqrt a+a)}\\&=\frac{\sqrt b\,(a+b)(2\sqrt a+a)}{\sqrt b\,(2\sqrt a+a)}\\&=a+b.\end{aligned}\]

Сокращение допустимо, поскольку \(\sqrt b>0\) и \(2\sqrt a+a>0\).

в) Сначала преобразуем первый множитель: \(\frac ab\sqrt{\frac ba}=\sqrt{\frac ab}\) и \(\frac ba\sqrt{\frac ab}=\sqrt{\frac ba}\). Кроме того, \(\sqrt{ab}=b\sqrt{\frac ab}\). Тогда

\[\begin{aligned}\left(\frac ab\sqrt{\frac ba}+\frac ba\sqrt{\frac ab}\right)\left(\sqrt{ab}-\sqrt{\frac ab}\right)+\frac{a+b}{b}&=\left(\sqrt{\frac ab}+\sqrt{\frac ba}\right)(b-1)\sqrt{\frac ab}+\frac{a+b}{b}\\&=\left(\frac ab+1\right)(b-1)+\frac{a+b}{b}\\&=\frac{(a+b)(b-1)}b+\frac{a+b}{b}\\&=a+b.\end{aligned}\]

Таким образом, все три равенства доказаны.