№422 Два равнобедренных треугольника АЕТ и ХЕА имеют общее основание, а их плоскости образуют угол 60°. Общее основание равно 16 см, боковая сторона одного треугольника равна 17 см, а боковые стороны другого перпендикулярны. Найдите расстояние между вершинами треугольников, лежащими против общего основания.

Дано:

• Общее основание AB = 16 см.
• Треугольник АЕТ равнобедренный, AE = ET, боковая сторона равна 17 см.
• Треугольник ХЕА равнобедренный, ХЕ = ХА, боковые стороны перпендикулярны.
• Угол между плоскостями треугольников (угол между высотами, проведенными к общему основанию) равен 60°.

Найти: Расстояние между вершинами E и X.

Решение:

1. Находим высоту в первом треугольнике:
   В равнобедренном треугольнике АЕТ, высота EM к основанию AB делит его пополам: AM = MB = 16/2 = 8 см.
   Используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике AME: \( AE^2 = AM^2 + EM^2 \)
   \[ 17^2 = 8^2 + EM^2 \]
   \[ 289 = 64 + EM^2 \]
   \[ EM^2 = 289 - 64 = 225 \]
   \[ EM = \sqrt{225} = 15 \text{ см} \]
2. Находим высоту во втором треугольнике:
   В равнобедренном треугольнике ХЕА, боковые стороны ХЕ и ХА перпендикулярны, что означает, что угол ЕХА = 90°. Треугольник ХЕА прямоугольный.
   Найдем гипотенузу EA (которая является боковой стороной в другом треугольнике), которая равна 17 см.
   Пусть высота MH к основанию AB равна h. В прямоугольном треугольнике ХЕА, если ХМ - высота к гипотенузе, то мы не можем сразу найти высоту к основанию AB. Обратим внимание на условие