425. Постройте график функции y = (x-2)(x²+3)/(2-x) и определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Сначала упростим функцию:

\( y = \frac{(x-2)(x^2+3)}{2-x} = \frac{-(2-x)(x^2+3)}{2-x} \)

При \( x \neq 2 \), функция принимает вид \( y = -(x^2+3) = -x^2 - 3 \).

График функции \( y = -x^2 - 3 \) — парабола с вершиной в точке \( (0, -3) \), направленная ветвями вниз. Однако, в точке \( x=2 \) функция не определена, поэтому на графике будет выколотая точка.

Найдем координаты выколотой точки:

При \( x = 2 \), \( y = -(2^2) - 3 = -4 - 3 = -7 \). Таким образом, точка \( (2, -7) \) выколота.

Теперь рассмотрим прямую \( y = kx \). Эта прямая проходит через начало координат \( (0,0) \).

Мы ищем значения \( k \), при которых прямая \( y = kx \) имеет ровно одну общую точку с графиком функции \( y = -x^2 - 3 \) (с учетом выколотой точки).

Приравняем уравнения, чтобы найти точки пересечения:

\[ -x^2 - 3 = kx \]

\[ x^2 + kx + 3 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Для того чтобы прямая имела ровно одну общую точку с параболой (или касалась её), дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю, ИЛИ одна из точек пересечения должна быть выколотой точкой.

Найдем дискриминант:

\[ D = k^2 - 4 1 3 = k^2 - 12 \]

1. Случай касания (дискриминант равен нулю):

\[ k^2 - 12 = 0 \]

\[ k^2 = 12 \]

\[ k = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3} \]

При этих значениях \( k \) прямая касается параболы. Найдем абсциссу точки касания:

\[ x = \frac{-k}{2a} = \frac{-k}{2} \]

Если \( k = 2\sqrt{3} \), то \( x = -\sqrt{3} \). Эта точка не равна 2, поэтому \( k = 2\sqrt{3} \) — одно из решений.

Если \( k = -2\sqrt{3} \), то \( x = \sqrt{3} \). Эта точка не равна 2, поэтому \( k = -2\sqrt{3} \) — еще одно решение.

2. Случай, когда прямая проходит через выколотую точку:

Прямая \( y = kx \) проходит через начало координат \( (0,0) \) и выколотую точку \( (2, -7) \). Подставим координаты выколотой точки в уравнение прямой:

\[ -7 = k 2 \]

\[ k = -\frac{7}{2} \]

При \( k = -7/2 \) прямая проходит через выколотую точку. Теперь нужно проверить, сколько всего точек пересечения будет в этом случае. Для \( k = -7/2 \), квадратное уравнение будет:

\[ x^2 - \frac{7}{2}x + 3 = 0 \]

Умножим на 2:

\[ 2x^2 - 7x + 6 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = (-7)^2 - 4 2 6 = 49 - 48 = 1 \]

Корни:

\[ x_1 = \frac{7 + 1}{4} = 2 \]

\[ x_2 = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \]

Один из корней равен \( x=2 \), что соответствует выколотой точке. Второй корень \( x = 3/2 \) является реальной точкой пересечения. Таким образом, при \( k = -7/2 \) прямая пересекает график ровно в одной точке \( x=3/2 \) (так как \( x=2 \) — выколотая точка).

Следовательно, значения \( k \), при которых прямая имеет ровно одну общую точку с графиком, это \( k = 2\sqrt{3} \), \( k = -2\sqrt{3} \) и \( k = -7/2 \).

Ответ: k = \( \pm 2\sqrt{3} \) и k = \( -\frac{7}{2} \).