426. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение:

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. В нашем случае, когда точки расположены на клетчатой бумаге, мы можем найти это расстояние, определив координаты точек и затем вычислив длину перпендикуляра.

Вариант а):

• Точка А: (2, 1)
• Точка В: (1, 4)
• Точка С: (3, 3)
• Уравнение прямой ВС: Проведем прямую через точки B(1, 4) и C(3, 3). Угловой коэффициент $$k = \frac{3-4}{3-1} = \frac{-1}{2}$$. Уравнение прямой: $$y - 4 = -\frac{1}{2}(x - 1) \Rightarrow 2y - 8 = -x + 1 \Rightarrow x + 2y - 9 = 0$$.
• Расстояние от точки А(2, 1) до прямой $$x + 2y - 9 = 0$$: $$d = \frac{|2 + 2(1) - 9|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|2 + 2 - 9|}{\sqrt{1+4}} = \frac{|-5|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \approx 2.24$$ см.

Вариант б):

• Точка А: (3, 2)
• Точка В: (1, 4)
• Точка С: (2, 1)
• Уравнение прямой ВС: $$k = \frac{1-4}{2-1} = \frac{-3}{1} = -3$$. Уравнение прямой: $$y - 4 = -3(x - 1) \Rightarrow y - 4 = -3x + 3 \Rightarrow 3x + y - 7 = 0$$.
• Расстояние от точки А(3, 2) до прямой $$3x + y - 7 = 0$$: $$d = \frac{|3(3) + 2 - 7|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{|9 + 2 - 7|}{\sqrt{9+1}} = \frac{|4|}{\sqrt{10}} = \frac{4}{\sqrt{10}} \approx 1.26$$ см.

Вариант в):

• Точка А: (2, 2)
• Точка В: (1, 4)
• Точка С: (4, 4)
• Прямая ВС горизонтальна, уравнение $$y = 4$$.
• Расстояние от точки А(2, 2) до прямой $$y = 4$$: $$|4 - 2| = 2$$ см.

Вариант г):

• Точка А: (1, 1)
• Точка В: (3, 3)
• Точка С: (4, 1)
• Уравнение прямой ВС: $$k = \frac{1-3}{4-3} = \frac{-2}{1} = -2$$. Уравнение прямой: $$y - 3 = -2(x - 3) \Rightarrow y - 3 = -2x + 6 \Rightarrow 2x + y - 9 = 0$$.
• Расстояние от точки А(1, 1) до прямой $$2x + y - 9 = 0$$: $$d = \frac{|2(1) + 1 - 9|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|2 + 1 - 9|}{\sqrt{4+1}} = \frac{|-6|}{\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} \approx 2.68$$ см.

Ответ: Расстояние от точки А до прямой ВС зависит от выбранного варианта. В варианте в) оно равно 2 см.