427. Постройте график функции y = (6x-9)/(3x-2x^2) и определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Заданная функция:

\[ y = \frac{6x - 9}{3x - 2x^2} \]

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:

\( 3x - 2x^2 \neq 0 \)

\( x(3 - 2x) \neq 0 \)

\( x \neq 0 \) и \( 3 - 2x \neq 0 \)

\( x \neq 0 \) и \( 2x \neq 3 \)

\( x \neq 0 \) и \( x \neq \frac{3}{2} \)

Область определения: \( x \in \mathbb{R} \setminus \{0, \frac{3}{2}\} \).

Теперь преобразуем функцию:

\( y = \frac{3(2x - 3)}{x(3 - 2x)} \)

Заметим, что \( 2x - 3 = -(3 - 2x) \). Тогда:

\( y = \frac{-3(3 - 2x)}{x(3 - 2x)} \)

При \( x \neq \frac{3}{2} \), мы можем сократить \( (3 - 2x) \):

\( y = -\frac{3}{x} \), при \( x \neq 0 \) и \( x \neq \frac{3}{2} \).

График функции \( y = -\frac{3}{x} \) — это гипербола. Нам нужно исключить точку, соответствующую \( x = \frac{3}{2} \).

Найдем значение \( y \) в этой точке:

\( y = -\frac{3}{\frac{3}{2}} = -3 \cdot \frac{2}{3} = -2 \).

Таким образом, график функции — это гипербола \( y = -\frac{3}{x} \) с выколотой точкой \( (\frac{3}{2}, -2) \).

Определение значений k

Прямая \( y = kx \) проходит через начало координат \( (0,0) \). Нам нужно найти такие значения \( k \), при которых прямая \( y = kx \) имеет ровно одну общую точку с графиком функции \( y = -\frac{3}{x} \) (с учетом выколотой точки).

Приравняем два уравнения:

\( kx = -\frac{3}{x} \)

\( kx^2 = -3 \)

\( kx^2 + 3 = 0 \)

Это уравнение будет иметь ровно одно решение, если:

1. Уравнение является линейным, то есть \( k = 0 \). В этом случае \( 3 = 0 \), что невозможно. Таким образом, \( k \neq 0 \).


2. Уравнение \( kx^2 + 3 = 0 \) имеет одно решение. Это возможно, если \( k < 0 \), тогда \( x^2 = -\frac{3}{k} \) и \( x = \pm \sqrt{-\frac{3}{k}} \). Это два решения, что нам не подходит.


3. Уравнение \( kx^2 + 3 = 0 \) имеет ровно одно решение, которое совпадает с выколотой точкой \( (\frac{3}{2}, -2) \).

Проверим, проходит ли прямая \( y = kx \) через выколотую точку \( (\frac{3}{2}, -2) \). Подставим координаты точки в уравнение прямой:

\( -2 = k \cdot \frac{3}{2} \)

\( k = -2 \cdot \frac{2}{3} \)

\( k = -\frac{4}{3} \)

Теперь проверим, сколько точек пересечения будет при \( k = -\frac{4}{3} \).

\( -\frac{4}{3}x^2 + 3 = 0 \)

\( \frac{4}{3}x^2 = 3 \)

\( x^2 = 3 \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{4} \)

\( x = \pm \frac{3}{2} \).

Мы получили два решения: \( x = \frac{3}{2} \) и \( x = -\frac{3}{2} \). Однако, \( x = \frac{3}{2} \) является выколотой точкой. Следовательно, при \( k = -\frac{4}{3} \) прямая пересекает график в одной точке \( x = -\frac{3}{2} \).

Также, прямая \( y = kx \) может иметь ровно одну общую точку, если она является касательной к графику \( y = -\frac{3}{x} \) в точке, отличной от выколотой. Но прямая, проходящая через начало координат, не может быть касательной к данной гиперболе, так как ее центр асимптот находится в \( (0,0) \).

Еще один случай, когда может быть ровно одна общая точка, это когда одна из точек пересечения является выколотой. Мы уже нашли \( k = -\frac{4}{3} \), при котором одна из точек \( x = \frac{3}{2} \) является выколотой, а другая \( x = -\frac{3}{2} \) - нет. Это дает одну общую точку.

Рассмотрим случай, когда \( k > 0 \). Тогда \( kx^2 = -3 \) не имеет решений, так как \( kx^2 \ge 0 \).

Итак, прямая \( y = kx \) имеет ровно одну общую точку с графиком функции \( y = -\frac{3}{x} \) с выколотой точкой \( (\frac{3}{2}, -2) \) при \( k = -\frac{4}{3} \).

Ответ: k = -4/3.