428. В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник.

Обозначим параллелограмм через ABCD, а точки пересечения биссектрис смежных углов — через K, L, M, N по порядку.

1. У параллелограмма противоположные углы равны. Поэтому их биссектрисы параллельны: биссектриса угла A параллельна биссектрисе угла C, а биссектриса угла B — биссектрисе угла D. Следовательно, KL ∥ MN и LM ∥ NK, то есть KLMN — параллелограмм.

2. Смежные углы параллелограмма в сумме дают 180°. Их биссектрисы делят эти углы пополам, поэтому угол между биссектрисами равен 180° : 2 = 90°. Значит, у KLMN есть прямой угол.

3. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Условие о неравных смежных сторонах исключает случай ромба, в котором некоторые биссектрисы могут совпасть и точки пересечения не образуют отдельную четырёхугольную фигуру.

Ответ: при пересечении биссектрис образуется прямоугольник.