429. Постройте график функции y = { 5 - x, при x >= -1, x^2 + 6x + 11, при x < -1 и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Данная функция задана кусочно:

\( y = \begin{cases} 5 - x, & \text{при } x \ge -1 \\ x^2 + 6x + 11, & \text{при } x < -1 \end{cases} \)

1. Построение графика y = 5 - x при x >= -1:

Это линейная функция. При \( x = -1 \), \( y = 5 - (-1) = 6 \). Точка \( (-1, 6) \).

При \( x = 0 \), \( y = 5 - 0 = 5 \). Точка \( (0, 5) \).

При \( x = 1 \), \( y = 5 - 1 = 4 \). Точка \( (1, 4) \).

Это луч, исходящий из точки \( (-1, 6) \) и направленный вправо вниз.

2. Построение графика y = x^2 + 6x + 11 при x < -1:

Это парабола. Найдем вершину параболы \( y = x^2 + 6x + 11 \).

Координата x вершины: \( x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3 \).

Так как \( x_v = -3 < -1 \), вершина принадлежит рассматриваемому промежутку.

Координата y вершины: \( y_v = (-3)^2 + 6(-3) + 11 = 9 - 18 + 11 = 2 \). Вершина параболы находится в точке \( (-3, 2) \).

Рассмотрим значение функции на границе интервала \( x = -1 \) (хотя эта точка не входит в промежуток \( x < -1 \), мы найдем значение, чтобы определить начало луча).

При \( x \to -1 \) (слева), \( y \to (-1)^2 + 6(-1) + 11 = 1 - 6 + 11 = 6 \). Точка \( (-1, 6) \) — открытый конец луча.

График представляет собой ветвь параболы с вершиной в \( (-3, 2) \), идущую влево и вверх, и заканчивающуюся (но не включающую) точку \( (-1, 6) \).

3. Определение значений m:

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) пересекает график функции ровно в двух точках.

• Если \( m < 2 \), прямая \( y = m \) не пересекает график (так как минимальное значение функции — 2).
• Если \( m = 2 \), прямая \( y = 2 \) пересекает график в одной точке (вершине параболы \( (-3, 2) \)).
• Если \( 2 < m < 6 \), прямая \( y = m \) пересекает параболу в двух точках (слева от вершины) и не пересекает луч \( y = 5 - x \) (так как на луче минимальное значение — 6, а на этом интервале \( y \) больше 6).
• Если \( m = 6 \), прямая \( y = 6 \) пересекает график в двух точках: одна точка — \( (-1, 6) \) (конечная точка луча \( y = 5 - x \)) и одна точка на параболе (решая \( x^2 + 6x + 11 = 6 \), получаем \( x^2 + 6x + 5 = 0 \), \( (x+1)(x+5) = 0 \), \( x = -1 \) или \( x = -5 \). Так как \( x < -1 \), подходит \( x = -5 \)). То есть точки \( (-1, 6) \) и \( (-5, 6) \).
• Если \( m > 6 \), прямая \( y = m \) пересекает параболу в двух точках (левее \( x=-5 \)) и луч \( y = 5 - x \) в одной точке (правее \( x = -1 \)). Всего три точки пересечения.

Таким образом, ровно две точки пересечения будут при \( 2 < m < 6 \) (где прямая пересекает только параболу) и при \( m = 6 \) (где прямая пересекает и параболу, и луч).

Объединяя эти интервалы, получаем \( 2 < m ≤ 6 \).

График:

Ответ: \( 2 < m \le 6 \).