43. Длины векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) равны соответственно 5 и 8, а их скалярное произведение равно 12. Найдите длину вектора \(\vec c\), если \(\vec c=3\vec a+\vec b\).

Используем формулу квадрата длины суммы векторов:

\[|\vec c|^2=|3\vec a+\vec b|^2=9|\vec a|^2+6(\vec a\cdot\vec b)+|\vec b|^2.\]

Подставим данные:

\[|\vec c|^2=9\cdot5^2+6\cdot12+8^2=225+72+64=361.\]

Следовательно,

\[|\vec c|=\sqrt{361}=19.\]

Ответ: 19.