43. (Для работы в парах.) Докажите, что всякое простое число, начиная с 5, увеличенное или уменьшенное на 1, делится на 6. 1) Проверьте утверждение на примерах. Одному учащемуся рекомендуется взять простые числа из третьего десятка, другому — из седьмого десятка. 2) Обсудите друг с другом, из чего следует справедливость указанного свойства. 3) Проведите доказательство.

1) Проверка на примерах. В третьем десятке простые числа 23 и 29: 23 + 1 = 24 делится на 6; 29 + 1 = 30 делится на 6. В седьмом десятке простые числа 67 и 71: 67 - 1 = 66 делится на 6; 71 + 1 = 72 делится на 6.

2) Наблюдение. Простое число, большее 3, не делится ни на 2, ни на 3. При делении на 6 оно поэтому может иметь остаток только 1 или 5.

3) Доказательство. Пусть простое число p ≥ 5. При делении на 6 остатки 0, 2 и 4 означали бы, что число чётное, а остатки 0 и 3 означали бы, что оно делится на 3. Эти варианты невозможны для простого числа, большего 3. Значит, p = 6k + 1 или p = 6k + 5 для некоторого целого k. В первом случае p - 1 = 6k, во втором p + 1 = 6(k + 1). В обоих случаях одно из чисел, полученных прибавлением или вычитанием 1, делится на 6.