43. (Для работы в парах.) Докажите, что всякое простое число, начинающееся с 5, увеличенное или уменьшенное на 1, делится на 6. 1) Проверьте утверждение на примерах. Одному учащемуся рекомендуется взять простые числа из третьего десятка, другому — из седьмого десятка. 2) Обсудите друг с другом, из чего следует справедливость указанного свойства. 3) Проведите доказательство.

1) Проверка на примерах

Простые числа третьего десятка: 23 и 29.

• \(23+1=24\), а \(24\) делится на \(6\);
• \(29+1=30\), а \(30\) делится на \(6\).

Простые числа седьмого десятка: 61 и 67.

• \(61-1=60\), а \(60\) делится на \(6\);
• \(67-1=66\), а \(66\) делится на \(6\).

Во всех примерах простое число после увеличения или уменьшения на 1 даёт число, кратное 6.

2) Обоснование свойства

Любое простое число, большее 3, не делится ни на 2, ни на 3. Поэтому при делении на 6 оно может иметь только остаток 1 или 5.

3) Доказательство

Пусть \(p\) — простое число, большее 3. При делении на 6 возможны остатки \(0,1,2,3,4,5\).

Остатки \(0,2,4\) невозможны, поскольку тогда число делится на 2 и не является простым. Остаток \(3\) также невозможен, поскольку число делится на 3.

Значит, остаются только два случая:

1. Если \(p=6k+1\), то \(p-1=6k\), поэтому \(p-1\) делится на 6.
2. Если \(p=6k+5\), то \(p+1=6k+6=6(k+1)\), поэтому \(p+1\) делится на 6.

Следовательно, всякое простое число, большее 3, увеличенное или уменьшенное на 1, делится на 6. Простое число \(5\) также удовлетворяет свойству: \(5+1=6\).

Ответ: для любого простого числа \(p\) число \(p-1\) или \(p+1\) делится на 6.