43. Докажите, что если A (−5; 0), B (−2; 4), C (5; 2), D (2; −2), то четырёхугольник ABCD является параллелограммом. Решите задачу двумя способами. Способ 1. Докажем, что если в четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм (признак/свойство параллелограмма).

Способ 1. По диагоналям.

1. Найдём середину диагонали AC по формуле середины отрезка: \(M_{AC}=(\frac{-5+5}{2};\frac{0+2}{2})=(0;1)\).
2. Найдём середину диагонали BD: \(M_{BD}=(\frac{-2+2}{2};\frac{4+(-2)}{2})=(0;1)\).
3. Диагонали имеют общую середину, значит, они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. По признаку параллелограмма ABCD — параллелограмм.

Способ 2. По векторам противоположных сторон.

1. Вычислим координаты векторов противоположных сторон: \(\overrightarrow{AB}=((-2)-(-5);4-0)=(3;4)\), \(\overrightarrow{DC}=(5-2;2-(-2))=(3;4)\).
2. Также \(\overrightarrow{AD}=(2-(-5);-2-0)=(7;-2)\), \(\overrightarrow{BC}=(5-(-2);2-4)=(7;-2)\).
3. Равенство соответствующих векторов показывает, что противоположные стороны попарно параллельны и равны. Следовательно, ABCD — параллелограмм.

Ответ: ABCD — параллелограмм.