43. Катеты прямоугольного треугольника относятся как m : n. Как относятся проекции катетов на гипотенузу?

Пусть проекции катетов на гипотенузу равны x и y, а гипотенуза — c. По свойству прямоугольного треугольника квадрат каждого катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета: \(a^2=cx\), \(b^2=cy\).

Тогда \(\frac{x}{y}=\frac{a^2/c}{b^2/c}=\frac{a^2}{b^2}\). Поскольку катеты относятся как \(m:n\), их квадраты относятся как \(m^2:n^2\).

Ответ: проекции катетов относятся как \(m^2:n^2\).