43. Придумайте какие-нибудь четыре разных числа, среднее арифметическое которых равно: а) второму по величине числу; б) третьему по величине числу; в) полусумме второго и третьего по величине из этих чисел.

Решение:

а) Среднее арифметическое равно второму по величине числу.

1. Пусть четыре числа в порядке возрастания будут: \( a \), \( b \), \( c \), \( d \).
2. По условию: \( \frac{a+b+c+d}{4} = b \).
3. Умножим обе части на 4: \( a+b+c+d = 4b \).
4. Вычтем \( b \) из обеих частей: \( a+c+d = 3b \).
5. Подберём числа. Пусть \( b = 10 \). Тогда \( 3b = 30 \).
6. Нам нужно найти \( a, c, d \) так, чтобы \( a < 10 < c < d \) и \( a+c+d = 30 \).
7. Пример: \( a = 5 \), \( c = 12 \), \( d = 13 \). Проверка: \( 5 < 10 < 12 < 13 \) и \( 5+12+13 = 30 \).
8. Среднее арифметическое: \( \frac{5+10+12+13}{4} = \frac{40}{4} = 10 \). Второе число равно 10.

Ответ: 5, 10, 12, 13.

б) Среднее арифметическое равно третьему по величине числу.

1. По условию: \( \frac{a+b+c+d}{4} = c \).
2. Умножим обе части на 4: \( a+b+c+d = 4c \).
3. Вычтем \( c \) из обеих частей: \( a+b+d = 3c \).
4. Подберём числа. Пусть \( c = 10 \). Тогда \( 3c = 30 \).
5. Нам нужно найти \( a, b, d \) так, чтобы \( a < b < 10 < d \) и \( a+b+d = 30 \).
6. Пример: \( a = 5 \), \( b = 8 \), \( d = 17 \). Проверка: \( 5 < 8 < 10 < 17 \) и \( 5+8+17 = 30 \).
7. Среднее арифметическое: \( \frac{5+8+10+17}{4} = \frac{40}{4} = 10 \). Третье число равно 10.

Ответ: 5, 8, 10, 17.

в) Среднее арифметическое равно полусумме второго и третьего по величине чисел.

1. По условию: \( \frac{a+b+c+d}{4} = \frac{b+c}{2} \).
2. Умножим обе части на 4: \( a+b+c+d = 2(b+c) \).
3. Раскроем скобки: \( a+b+c+d = 2b+2c \).
4. Перенесём все члены в одну сторону: \( a - b - c + d = 0 \).
5. Или \( d - b = c - a \). Это означает, что числа образуют арифметическую прогрессию.
6. Подберём числа. Пусть \( a = 5 \), \( b = 7 \), \( c = 9 \).
7. Тогда \( d - 7 = 9 - 5 \) => \( d - 7 = 4 \) => \( d = 11 \).
8. Числа: 5, 7, 9, 11. Проверка: \( 5 < 7 < 9 < 11 \).
9. Среднее арифметическое: \( \frac{5+7+9+11}{4} = \frac{32}{4} = 8 \).
10. Полусумма второго и третьего чисел: \( \frac{7+9}{2} = \frac{16}{2} = 8 \).

Ответ: 5, 7, 9, 11.