43. Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: 1) \(C_n^0+\frac12C_n^1+\cdots+\frac1{n+1}C_n^n=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}\); 2) \(C_n^1+2C_n^2+\cdots+nC_n^n=n2^{n-1}\); 3) \(C_n^1-2C_n^2+\cdots+(-1)^{n-1}nC_n^n=0\).

Мұнда \(C_n^k=\binom{n}{k}\).

1) \(\displaystyle \frac{C_n^k}{k+1}=\frac{C_{n+1}^{k+1}}{n+1}\), өйткені \(C_{n+1}^{k+1}=\frac{n+1}{k+1}C_n^k\). Сондықтан

\[\sum_{k=0}^{n}\frac{C_n^k}{k+1}=\frac1{n+1}\sum_{j=1}^{n+1}C_{n+1}^{j}=\frac{2^{n+1}-C_{n+1}^{0}}{n+1}=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}.\]

Соңғы қосындыда биномиалдық формула бойынша барлық коэффициенттердің қосындысы \(2^{n+1}\).

2) \(kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1}\) теңдігін қолданамыз:

\[\sum_{k=1}^{n}kC_n^k=n\sum_{k=1}^{n}C_{n-1}^{k-1}=n\sum_{r=0}^{n-1}C_{n-1}^{r}=n2^{n-1}.\]

3) Биномиалдық формуланы \((1-x)^n=\sum_{k=0}^{n}(-1)^kC_n^kx^k\) түрінде жазып, туындысын аламыз:

\[-n(1-x)^{n-1}=\sum_{k=1}^{n}(-1)^k kC_n^k x^{k-1}.\]

\(x=1\) болғанда, \(n>1\) үшін сол жақ нөлге тең. Демек, \(\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}kC_n^k=0\), яғни берілген теңдік дәлелденді. Ескерту: \(n=1\) болса, сол жақ \(1\)-ге тең, сондықтан үшінші теңдік тек \(n>1\) кезінде дұрыс.