43. Уравнение затухающих колебаний x = 5 e^{-0,25 t} \(\sin\) \(\frac{\pi}{2}\) t (м). Найти: амплитуду при t = T, логарифмический декремент затухания. T – период колебаний.

Решение:

1. Амплитуда затухающих колебаний определяется множителем при синусоиде: \( A(t) = 5 e^{-0.25 t} \).
2. Период колебаний \( T \) можно найти из аргумента синуса: \( \frac{\pi}{2} T = 2\pi \). Отсюда \( T = \frac{2\pi \cdot 2}{\pi} = 4 \) с.
3. Амплитуда при \( t = T = 4 \) с: \( A(4) = 5 e^{-0.25 \cdot 4} = 5 e^{-1} = \frac{5}{e} \) м.
4. Логарифмический декремент затухания (\( \lambda \)) равен отношению натуральных логарифмов двух последовательных амплитуд: \( \lambda = \ln \frac{A(t)}{A(t+T)} \).
5. Найдем амплитуду при \( t = 0 \): \( A(0) = 5 e^{-0.25 \cdot 0} = 5 e^0 = 5 \) м.
6. Найдем амплитуду при \( t = T = 4 \) с: \( A(4) = 5 e^{-0.25 \cdot 4} = 5 e^{-1} \) м.
7. Рассчитаем логарифмический декремент: \( \lambda = \ln \frac{A(0)}{A(4)} = \ln \frac{5}{5 e^{-1}} = \ln \frac{1}{e^{-1}} = \ln e = 1 \).

Ответ: амплитуда при \( t = T \) равна \( \frac{5}{e} \) м, логарифмический декремент затухания равен 1.