430. Сократите дробь: а) $\dfrac{x^2-2}{x+\sqrt2}$; б) $\dfrac{\sqrt5-a}{5-a^2}$; в) $\dfrac{\sqrt{x}-5}{25-x}$; г) $\dfrac{\sqrt2+2}{\sqrt2}$; д) $\dfrac{5+\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$; е) $\dfrac{2\sqrt3-3}{5\sqrt3}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 430. Сократите дробь: а) $\dfrac{x^2-2}{x+\sqrt2}$; б) $\dfrac{\sqrt5-a}{5-a^2}$; в) $\dfrac{\sqrt{x}-5}{25-x}$; г)…$ Фото задания

430. Сократите дробь: а) $\dfrac{x^2-2}{x+\sqrt2}$; б) $\dfrac{\sqrt5-a}{5-a^2}$; в) $\dfrac{\sqrt{x}-5}{25-x}$; г) $\dfrac{\sqrt2+2}{\sqrt2}$; д) $\dfrac{5+\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$; е) $\dfrac{2\sqrt3-3}{5\sqrt3}$.

Accepted Answer

$x^2-2=(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$. При $x\ne-\sqrt2$ сокращаем общий множитель:
\[\frac{x^2-2}{x+\sqrt2}=x-\sqrt2.\]
$5-a^2=(\sqrt5-a)(\sqrt5+a)$. При $a\ne\pm\sqrt5$ сокращаем:
\[\frac{\sqrt5-a}{5-a^2}=\frac1{\sqrt5+a}.\]
Положим $\sqrt{x}=t$. Тогда $25-x=(5-t)(5+t)$, а $t-5=-(5-t)$. При $x\ge0$, $x\ne25$:
\[\frac{\sqrt{x}-5}{25-x}=-\frac1{5+\sqrt{x}}.\]
Разделим каждое слагаемое числителя на знаменатель:
\[\frac{\sqrt2+2}{\sqrt2}=1+\sqrt2.\]
\[\frac{5+\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=\frac5{\sqrt{10}}+1=\frac{\sqrt{10}}2+1.\]
Разделим числитель и знаменатель на $\sqrt3$:
\[\frac{2\sqrt3-3}{5\sqrt3}=\frac{2-\sqrt3}{5}.\]

430. Сократите дробь: а) \(\dfrac{x^2-2}{x+\sqrt2}\); б) \(\dfrac{\sqrt5-a}{5-a^2}\); в) \(\dfrac{\sqrt{x}-5}{25-x}\); г) \(\dfrac{\sqrt2+2}{\sqrt2}\); д) \(\dfrac{5+\sqrt{10}}{\sqrt{10}}\); е) \(\dfrac{2\sqrt3-3}{5\sqrt3}\).

Ответ: