433. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) \(\frac{18}{2\sqrt{3}+3}\); б) \(\frac{11}{3\sqrt{5}-1}\); в) \(\frac{16}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+1}\); г) \(\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2}}\); д) \(\frac{1}{2+\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{10}}\); е) \(\frac{1}{\sqrt{15}-\sqrt{10}+\sqrt{3}-\sqrt{2}}\).

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

\[\frac{18}{2\sqrt{3}+3}\cdot\frac{2\sqrt{3}-3}{2\sqrt{3}-3}=\frac{18(2\sqrt{3}-3)}{12-9}=12\sqrt{3}-18.\]

Используем разность квадратов:

\[\frac{11}{3\sqrt{5}-1}\cdot\frac{3\sqrt{5}+1}{3\sqrt{5}+1}=\frac{11(3\sqrt{5}+1)}{45-1}=\frac{3\sqrt{5}+1}{4}.\]

Сначала умножим на сопряжённое к \(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\) выражение \(1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\), затем устраним корень из оставшегося знаменателя:

\[\frac{16}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{16(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{2})^2-3}=\frac{8(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{\sqrt{2}}=8+4\sqrt{2}-4\sqrt{6}.\]

Сначала сопряжённым выражением устраним \(\sqrt{2}\), затем рационализируем знаменатель \(3+\sqrt{15}\):

\[\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{6+2\sqrt{15}}=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{15}-3)}{12}=\frac{\sqrt{30}+2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{12}.\]

Умножим на \(2+\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{10}\): знаменатель станет \(7+2\sqrt{10}\). Затем умножим на сопряжённое \(7-2\sqrt{10}\):

\[\frac{1}{2+\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{10}}=\frac{(2+\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{10})(7-2\sqrt{10})}{49-40}=\frac{34+17\sqrt{2}-11\sqrt{5}-11\sqrt{10}}{9}.\]

Сгруппируем слагаемые в знаменателе: \(\sqrt{15}-\sqrt{10}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=(\sqrt{5}+1)(\sqrt{3}-\sqrt{2})\). Рационализируем оба множителя:

\[\frac{1}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(5-1)(3-2)}=\frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{4}.\]